Re: SELEÇÃO IMO(me ajudem)

["Henrique Lima" <santanahenrique@xxxxxxxxxxx>]

Relações de Girard:
a_0*x^2 + a_1*x + a_2=0 => x´+x´´=-a_1/a_0 e x´* x´´=a_2/a_0 (onde x´e x´´ 
são as raízes...) isso vc sabe,certo?
daí observe que
a_0*x^3 + a_1*x^2 + a_2*x + a_3=0 => x´+ x´´+ x´´´=-a_1/a_0
(x´*x´´)+(x´*x´´)+(x´´*x´´´)=a_2/a_0 e x´*x´´*x´´´=-a_3/a_0
logo,pra
a_0*x^n + a_1*x^n-1 +...+a_n-1*x + a_n=0 temos
x´+...+x_n(enésima raiz)=-a_1/a_0
(x´*x´´)+(x´*x´´´)+...+(x^n-1*x^n)=a_2/a_0
e x´*x´´*...*x^n=(-1)^n (a_n/a_0)
    té mais
       Henrique






>From: pichurin pichurin <pichurinbr@yahoo.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: SELEÇÃO IMO(me ajudem)
>Date: Sat, 11 Aug 2001 02:47:23 -0300 (ART)
>
>desculpem, mas sou meio leigo nesses problemas
>alguem poderia me explicar pq o produto das raízes é
>igual a 11?
>
>
>
>--- Bruno Leite <bruleite@uol.com.br> escreveu: >
>Linda solução! Nunca tinha conseguido fazer essa
> > questão...
> >
> > Bruno
> >
> > -----Mensagem original-----
> > De: Marcelo Rufino de Oliveira
> > <marcelo_rufino@hotmail.com>
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Data: Quarta-feira, 1 de Agosto de 2001 03:25
> > Assunto: Re: SELEÇÃO IMO
> >
> >
> > >Na segunda questão faça o seguinte:
> > >
> > >2) se a = sqrt(4-sqrt5-a), b = sqrt(4+sqrt5-b), c =
> > sqrt(4-sqrt5+c) e
> > >d = sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d.
> > >
> > >Solução:
> > >
> > >Inicialmente note que, devido as equações que
> > definem a, b, c e d, então
> > >estes valores são todos distintos.
> > >
> > >Elevando ao quadrado duas vezes as equações
> > obtemos:
> > >
> > >(1) (a^2 - 4)^2 = 5 - a   =>   a^4 - 8a^2 + 16 = 5
> > - a   =>
> > >a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0
> > >
> > >(2) (b^2 - 4)^2 = 5 - b   =>   b^4 - 8b^2 + 16 = 5
> > - b   =>
> > >b^4 - 8b^2 + b + 11 = 0
> > >
> > >(3) (c^2 - 4)^2 = 5 + c   =>   c^4 - 8c^2 + 16 = 5
> > + c   =>
> > >c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0
> > >
> > >(4) (d^2 - 4)^2 = 5 + d   =>   d^4 - 8d^2 + 16 = 5
> > + d   =>
> > >d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0
> > >
> > >Assim, a e b são 2 das 4 raízes do polinômio  P(x)
> > = x^4 - 8x^2 + x + 11 e
> > >c e d são 2 das 4 raízes do polinômio Q(x) = x^4 -
> > 8x^2 - x + 11.
> > >
> > >Aplicando x = - c em P(x) temos:
> > >P(- c) = c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0   =>   - c é raiz
> > de P(x).
> > >
> > >Aplicando x = - d em P(x) temos:
> > >P(- d) = d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0   =>   - d é raiz
> > de P(x).
> > >
> > >Deste modo, as raízes de P(x) são  a, b, - c e - d.
> > >
> > >Como a multiplicação das raízes P(x) é igual a  11,
> > >temos que  a.b.(- c)(- d) = 11   =>   abcd = 11.
> > >
> > >
> > >Falou,
> > >Marcelo Rufino de Oliveira
> > >
> > >
> > >----- Original Message -----
> > >From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
> > >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > >Sent: Tuesday, July 31, 2001 11:16 PM
> > >Subject: SELEÇÃO IMO
> > >
> > >
> > >>
> > >>   alguém pode ajudar nesses problemas?
> > >> 1)se m e n são inteiros positivos tais q 2^n  - 1
> > divide m^2 +9, prove q
> > n
> > >> eh uma potencia de 2
> > >> se n eh uma potencia de 2 prove q existe um
> > inteiro m (positivo) tal q
> > 2^n
> > >> -1 divide m^2 + 9
> > >> 2)se a=sqrt(4-sqrt5-a), b=sqrt(4+sqrt5-b),
> > c=sqrt(4-sqrt5+c) e
> > >> d=sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d
> > >> 3)sejam Q+ e Z os conjuntos dos racionais
> > estritamente positivos e o
> > >> conjunto dos inteiros. determine todas as funções
> > f:Q+ ->Z satisfazendo
> > as
> > >> seguintes condições:
> > >> (i)f(1999)=1
> > >> (ii)f(ab)=f(a)+f(b) ,pra qq a,b racionais
> > estritamente positivos
> > >> (iii)f(a+b)>=min{f(a),f(b)}, pra qq a,b racionais
> > estritamente positivos
> > >>
> > >>     valeu!
> > >>
> > >>
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