Re: Potencias de 2 e 3 consecutivas

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

...3^b-2^a=1 implica 2^a=3^b-1. Como a>1, o lado esquerdo é múltiplo de 4,
logo, como 3=-1(mod4), (-1)^b-1=0, logo, b é par, ou seja, existe k natural,
tal que b=2k. Logo, 2^a=(3^k-1)(3^k+1) e assim, os dois fatores da direita
são potências de 2. Como a diferença desses 2 fatores é 2, só podemos ter
k=1, ou seja, b=2 e assim, a=3.
...2^a-3^b=1 implica 3^b=2^a-1. Como 2=-1(mod3), temos (-1)^a = 1, logo a é
par e existe j natural, tal que a=2j. Então, 3^b=(2^j-1)(2^j+1) e os dois
fatores da direita devem ser potências de 3. Como a diferença desses fatores
é 2, só podemos ter j=1, ou seja, a=2 e assim b=3.
Abraços,
  ¡Villard!
-----Mensagem original-----
De: Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 10 de Agosto de 2001 13:13
Assunto: Potencias de 2 e 3 consecutivas


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>Como provar que as unicas potencias de 2 e 3 consecutivas sao 8 e 9 ?
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>3^b-2^a=+-1, com a>1 e b>1 implicam b=2 e a=3
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>Abraco,
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>Salvador
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