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O problema com estas "contas" do tipo 0,444... * 9
= 3,9...96 me parece residir no seguinte.
Nos nos acostumamos, quando criancas, a fazer
certas contas sem discutir, e os procedimentos usados ganharam o status de
"teoremas", que logo em seguida sao generalizados para numeros ou contas com
"pontinhos".
Como professor, ja encontrei muitas vezes esta
questao. Uma vez, discutindo em aula (num curso superior de Mat) o 0,999...,
encontrei alguns alunos para os quais o argumento mais forte para 0,999..=1 era
a regra: "tantos noves quantos sejam os algarismos do periodo, etc.", de modo
que 0,999...=9/9=1. Ou seja, o argumento de autoridade da "tia", ja devidamente
inetrnalizado.
Gente, nenhuma dessas questoes pode ser discutida
antes de se definir o que se quer dizer com os pontinhos que aparecem, por
exemplo, em 0,444..., e isto eh um processo de "limite", ou seja, envolve o
infinito, sobre o qual o Hugo (e toda a torcida do Flamengo) expressou duvidas.
Quando digo isto, alguns torcem o nariz: "mas se
envolvem limite, como vamos abordar no ensino elementar?" Simples: os conceitos
de infinito e limite sao inevitaveis na Mat. elementar. So porque no ensino
superior, esses conceitos sao vistos de uma forma sofisticada e formalizada
(muito necessaria, alias), nao quer dizer que nao possam ser abordadas antes de
forma mais intuitiva.
Mas "intuitiva" nao quer dizer errada ou
enganadora. Nao podemos enganar as criancinhas, passando por cima da questao
conceitual, e apelando apenas para regras operacionais. Os exemplos do Hugo sao
interessantes para mostrar que essas regras nao vao sempre funcionar. Como
costuma dizer o Elon (isto eh, o Prof. Elon Lages Lima), ensinar Mat. eh como
educacao sexual: muitas vezes nao se pode logo dizer toda a verdade para uma
crianca, mas tambem nao se pode dizer para ela coisas que mais tarde serao
desmentidas.
Talvez o "argumento" mais usado ( e muito
convincente, em geral) para 0,999..=1 eh o seguinte:
0,999...=x
9,999...=10x
Subtraindo: 9=9x
x=1
Novamente: por que a primeira passagem? porque se
extrapola para o infinito uma regra que sabemos valida para o finito
(multiplicar por 10 equivale a andar com a virgula). Na realidade, as passagens
sao validas, essencialmente porque limite de 10 vezes algo eh 10 vezes o limite
de algo, mas repito: sem discutir o que querem dizer os pontinhos, este
argumento eh:
1) desonesto e embromativo: mah educacao
sexual;
2) enganador, como mostram os exemplos do
Hugo.
O que fazer entao? eh uma longa historia, mas
sugiro uma visao geometrica sobre a reta.
Por exemplo, resumindo muito: 0,999...eh o unico
ponto pertencente a todos os intervalos fechados: [0,9; 1]; [0,99; 1],
etc.
Geometria para ver e entender. Algebra para
fornecer exatidao.
JP
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