Re: Geometria espacial

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Aug 02, 2001 at 08:03:56PM -0400, Euraul@aol.com wrote:
>        Boa noite a todos,
>        Agradeço a atenção dada a questão, porém eu esqueci de dizer que essa 
> pergunta me foi feita por um aluno do colegial. Assim eu procurava uma 
> solução somente com o que é dado no ensino médio. Então eu gostaria de 
> entender melhor esse trecho da resposta do prof. Nicolau :
> > "Uma forma aparentemente mais elementar mas no fundo equivalente
> > é observar que podemos usar uma espécie de Cavalieri para comparar
> > o volume deste sólido com o de uma esfera de raio r:
> > a razão entre as áreas é sempre 4/Pi.
> > Digo 'aparentemente' pq esta solução pressupõe que você saiba
> > o volume da esfera; é possível mas bastante complicado justificar
> > a fórmula para o volume da esfera em termos elementares.
> > Minha impressão é a de que isto raramente é feito no ensino médio;
> > mesmo o volume do cone raramente é devidamente justificado."

Considere o sólido e a esfera lado a lado e considere planos horizontais
que cortam os dois sólidos. Cada plano corta a esfera em um disco de raio,
digamos, r. Este mesmo plano corta o sólido em um quadrado de lado 2r.
Esta última afirmação é a crucial e pode ser justificada ou via um desenho
ou via coordenadas para os dois sólidos (x^2 + y^2 + z^2 <= r^2 para a bola
e x^2 + z^2 <= r^2, y^2 + z^2 <= r^2 para o seu sólido).
Em cada fatia vale a seguinte proporção entre as áreas das seções:

         Área da seção da esfera          Pi
       ---------------------------  =   ------
         Área da seção do sólido          4

donde

         Volume da bola       Pi
       ------------------ = ------
        Volume do sólido      4

Se você souber que o volume da bola é 4/3 Pi r^3 você deduz que o volume
do sólido é 16/3 r^3.

[]s, N.

PGP signature