Re: SELEÇÃO IMO

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Na verdade, para ficar mais clara a equação da questão 2 que eu
resolvi no e-mail anterior, o mais correto é:

2) Se a = sqrt(4 - sqrt(5 - a)),  b = sqrt(4 + sqrt(5 - b)),
c = sqrt(4 - sqrt(5 + c))  e  d = sqrt(4 + sqrt(5 + d)),
calcule a*b*c*d.

Sem os parenteses nos lugares corretos realmente dá margem a várias
interpretações.

Lembre-se que  sqrt(x)  significa a raiz quadrada de x.

Falou,
Marcelo Rufino de Oliviera

----- Original Message -----
From: Marcelo Rufino de Oliveira <marcelo_rufino@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, August 01, 2001 3:07 AM
Subject: Re: SELEÇÃO IMO


> Na segunda questão faça o seguinte:
>
> 2) se a = sqrt(4-sqrt5-a), b = sqrt(4+sqrt5-b), c = sqrt(4-sqrt5+c) e
> d = sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d.
>
> Solução:
>
> Inicialmente note que, devido as equações que definem a, b, c e d, então
> estes valores são todos distintos.
>
> Elevando ao quadrado duas vezes as equações obtemos:
>
> (1) (a^2 - 4)^2 = 5 - a   =>   a^4 - 8a^2 + 16 = 5 - a   =>
> a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0
>
> (2) (b^2 - 4)^2 = 5 - b   =>   b^4 - 8b^2 + 16 = 5 - b   =>
> b^4 - 8b^2 + b + 11 = 0
>
> (3) (c^2 - 4)^2 = 5 + c   =>   c^4 - 8c^2 + 16 = 5 + c   =>
> c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0
>
> (4) (d^2 - 4)^2 = 5 + d   =>   d^4 - 8d^2 + 16 = 5 + d   =>
> d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0
>
> Assim, a e b são 2 das 4 raízes do polinômio  P(x) = x^4 - 8x^2 + x + 11 e
> c e d são 2 das 4 raízes do polinômio Q(x) = x^4 - 8x^2 - x + 11.
>
> Aplicando x = - c em P(x) temos:
> P(- c) = c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0   =>   - c é raiz de P(x).
>
> Aplicando x = - d em P(x) temos:
> P(- d) = d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0   =>   - d é raiz de P(x).
>
> Deste modo, as raízes de P(x) são  a, b, - c e - d.
>
> Como a multiplicação das raízes P(x) é igual a  11,
> temos que  a.b.(- c)(- d) = 11   =>   abcd = 11.
>
>
> Falou,
> Marcelo Rufino de Oliveira
>
>
> ----- Original Message -----
> From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Tuesday, July 31, 2001 11:16 PM
> Subject: SELEÇÃO IMO
>
>
> >
> >   alguém pode ajudar nesses problemas?
> > 1)se m e n são inteiros positivos tais q 2^n  - 1 divide m^2 +9, prove q
n
> > eh uma potencia de 2
> > se n eh uma potencia de 2 prove q existe um inteiro m (positivo) tal q
2^n
> > -1 divide m^2 + 9
> > 2)se a=sqrt(4-sqrt5-a), b=sqrt(4+sqrt5-b), c=sqrt(4-sqrt5+c) e
> > d=sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d
> > 3)sejam Q+ e Z os conjuntos dos racionais estritamente positivos e o
> > conjunto dos inteiros. determine todas as funções f:Q+ ->Z satisfazendo
as
> > seguintes condições:
> > (i)f(1999)=1
> > (ii)f(ab)=f(a)+f(b) ,pra qq a,b racionais estritamente positivos
> > (iii)f(a+b)>=min{f(a),f(b)}, pra qq a,b racionais estritamente positivos
> >
> >     valeu!
> >
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