Re: SELEÇÃO IMO

["Marcelo Rufino de Oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

Na segunda questão faça o seguinte:

2) se a = sqrt(4-sqrt5-a), b = sqrt(4+sqrt5-b), c = sqrt(4-sqrt5+c) e
d = sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d.

Solução:

Inicialmente note que, devido as equações que definem a, b, c e d, então
estes valores são todos distintos.

Elevando ao quadrado duas vezes as equações obtemos:

(1) (a^2 - 4)^2 = 5 - a   =>   a^4 - 8a^2 + 16 = 5 - a   =>
a^4 - 8a^2 + a + 11 = 0

(2) (b^2 - 4)^2 = 5 - b   =>   b^4 - 8b^2 + 16 = 5 - b   =>
b^4 - 8b^2 + b + 11 = 0

(3) (c^2 - 4)^2 = 5 + c   =>   c^4 - 8c^2 + 16 = 5 + c   =>
c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0

(4) (d^2 - 4)^2 = 5 + d   =>   d^4 - 8d^2 + 16 = 5 + d   =>
d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0

Assim, a e b são 2 das 4 raízes do polinômio  P(x) = x^4 - 8x^2 + x + 11 e
c e d são 2 das 4 raízes do polinômio Q(x) = x^4 - 8x^2 - x + 11.

Aplicando x = - c em P(x) temos:
P(- c) = c^4 - 8c^2 - c + 11 = 0   =>   - c é raiz de P(x).

Aplicando x = - d em P(x) temos:
P(- d) = d^4 - 8d^2 - d + 11 = 0   =>   - d é raiz de P(x).

Deste modo, as raízes de P(x) são  a, b, - c e - d.

Como a multiplicação das raízes P(x) é igual a  11,
temos que  a.b.(- c)(- d) = 11   =>   abcd = 11.


Falou,
Marcelo Rufino de Oliveira


----- Original Message -----
From: Henrique Lima <santanahenrique@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, July 31, 2001 11:16 PM
Subject: SELEÇÃO IMO


>
>   alguém pode ajudar nesses problemas?
> 1)se m e n são inteiros positivos tais q 2^n  - 1 divide m^2 +9, prove q n
> eh uma potencia de 2
> se n eh uma potencia de 2 prove q existe um inteiro m (positivo) tal q 2^n
> -1 divide m^2 + 9
> 2)se a=sqrt(4-sqrt5-a), b=sqrt(4+sqrt5-b), c=sqrt(4-sqrt5+c) e
> d=sqrt(4+sqrt5+d), calcule a*b*c*d
> 3)sejam Q+ e Z os conjuntos dos racionais estritamente positivos e o
> conjunto dos inteiros. determine todas as funções f:Q+ ->Z satisfazendo as
> seguintes condições:
> (i)f(1999)=1
> (ii)f(ab)=f(a)+f(b) ,pra qq a,b racionais estritamente positivos
> (iii)f(a+b)>=min{f(a),f(b)}, pra qq a,b racionais estritamente positivos
>
>     valeu!
>
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