Re: O pr�ximo n�mero � ...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jul 20, 2001 at 10:01:12AM -0400, Euraul@aol.com wrote:
>        Bom dia a todos !!
> 
>        Agrade�o pela aten��o dada a quest�o e gostaria de entender melhor 
> porque devemos repudiar esse tipo de quest�o. Eu entendi o exemplo dado pelo 
> Bruno de como completar 4, 6, 8, 10 com n�meros diferentes de 12 e seguindo 
> uma "regra". Mas ser� que completando com um n�mero diferente de 12 vc n�o 
> estaria "criando uma regra" que n�o estava completamente definida 
> anteriormente ?
>        Hoje recebi como resposta da seq��ncia 80, 84, 72, 27 a alternativa c 
> ( -81 ) e n�o descobri nenhuma regra. Tentei o site indicado pelo prof. 
> Nicolau mas obtive como resposta : "I am sorry, but the terms 80, 84, 72, 27, 
> do not match anything in the table."
>        Desculpe se insisto em algo banal, mas gostaria de mais explica��es de 
> como essa quest�o � rid�cula pois terei que explic�-la para alguns alunos que 
> me perguntaram.
>        Obrigado pela aten��o,
>              Raul

Uma possibilidade � interpolar por um polin�mio, o que,
com a ajuda do maple, nos daria a resposta:

 > P:=interp([1,2,3,4], [80, 84, 72, 27], z);
                                   3      2
                      P := - 17/6 z  + 9 z  - 19/6 z + 77

 > subs(z=5,P);
                                      -68

E a resposta fica sendo -68.

Outra possibilidade � observar que

80 = 3^0 * 80
84 = 3^1 * 28
72 = 3^2 *  8
27 = 3^3 *  1

Ent�o vamos supor que a seq��ncia � da forma 3^(n-1)*P(n)
onde P � um polin�mio. Ter�amos:

 > P:=interp([1,2,3,4], [80, 28, 8, 1], z);
                                 3       2
                    P := - 19/6 z  + 35 z  - 809/6 z + 183

 > subs(z=5,P);
                                      -12


e a resposta seria -12*81 = -972.

Outra possibilidade � olharmos para diferen�as sucessivas:

80 - 84 = -4; 84 - 72 = 12; 72 - 27 = 45;

Agora observamos que estes n�meros s�o m�ltiplos de 1, 2 e 5,
que s�o n�meros de Catalan! Dividindo temos -4, 6, 9 que �
claramente uma PG, exceto pelos sinais. Assim a pr�xima *diferen�a*
seria +- 14*27/2 = +- 189 e o pr�ximo termo pode ser ou
27 + 189 = 216 ou 27 - 189 = -162.
O padr�o de sinais est� mais dif�cil, temos apenas -, +, +.
Eu conjecturo que isto tem a ver com a expans�o decimal de pi:

3 1 4 1 5 9 2 ...

- + + + - + - ...

Os sinais de + aparecem abaixo dos algarismos que s�o quadrados perfeitos
e portanto eu tendo a favorecer a resposta 216.

                
Desculpem pelo besteirol. Estou s� tentando dar uma id�ia de que uma
seq��ncia pode ser continuada de infinitas maneiras.
Para uma seq��ncia t�o curta quanto este ent�o...

[]s, N.