Re: Como provar que E=1/2(mv^2)?

["Jose Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta minha resposta nao eh para o Paulo, e sim a todas as mensagens sobre o
assunto da energia cinetica.
Em uma mensagem anterior, eu havia dito que ia mostrar como acho que se pode
fazer para justificar isto no ensino medio, como foi solicitado.
1) O argumento do Bruno eh muito interessante para os movimentos
"uniformemente variados", mas o resultado a que me refiro vale mesmo que a
aceleracao nao seja constante.
2) Vou descrever aqui em linguagem de professor; este deverah adaptar sua
linguagem a dos alunos.
3) Parto da definicao de energia = trabalho = forca x deslocamento
(Movimento retilineo e forca na mesma direcao e sentido do movimento).
4) Se a forca for constante ao longo do percurso, o trabalho realizado eh F
ds, onde ds = s(final)-s(inicial) = b-a (em geral se prefere escrever delta
s, em vez de ds).
5) Se a forca for constante "por pedacos", isto, se se puder dividir o
intervalo [a;b] em n subintervalos [s(i-1);s(i)], e em cada um desses
intervalos a forca for constante e igual a F(i), entao o trabalho realizado
serah a soma de 1 a n de
F(i) ds(i), onde ds(i) = s(i)-s(i-1).
6) Finalmente, se F variar "continuamente" ao longo de [a;b], o professor
sabe que o trabalho T serah o limite desta soma, quando todos os ds(i)
tendem a 0, isto eh, a integral de F(s)ds de a ateh b.
Sim, ja sei!! Vao dizer: Deus me livre de falar em limite e integral no
ensino
medio!!!
Bom, eu tinha dito que estava me dirigindo ao professor, por enquanto. Sei
tambem que mesmo o professor, as vezes, quando pensa em integral, pensa
naquela cobrinha e pensa em derivada (isto eh, no teorema fundamental do
calculo). Mas Arquimedes ja fazia integral quase 2 mil anos antes de falarem
em derivada. Entao, vamos fazer como Arquimedes.
Se a variacao for continua, algum tipo de limite serah inevitavel. O que
proponho agora eh fazer este limite graficamente. Vejamos:
7) Omitindo os indices i, e considerando a massa constante:
F ds = m a ds = m dv/dt ds = m ds/dt dv = m v dv
Ou seja, a soma de F(i) ds(i) eh m vezes a soma de v(i) dv(i).
(Professor: o que basta mostrar eh que integral de v dv eh v^2/2, mas nao
conte para ninguem, para nao assusta-lo!).
Para simplificar, vou tomar a velocidade inicial igual a 0, mas voce poderah
adaptar para o caso geral.
Esqueca agora que v eh velocidade, e  nao faca o grafico da velocidade em
funcao do tempo (ja que estou supondo que v varia de modo arbitrario).
Faca uma especie  grafico de v em funcao de v mesmo (nao fiquei maluco!!).
Quero dizer
o seguinte: marque no eixo X os valores v(0)=0, v(1), ..., v(n).
As parcelas v(1)(v(1)-v(0)),  v(2)(v(2)-v(1)),  ...,  v(n)(v(n)-v(n-1)), sao
as areas de retangulos de alturas v(i) e base dv(i).
A soma procurada eh a soma das areas desses retangulos. Como o extremo
nordeste desses retangulos estah sempre na bissetriz do 1o quadrante, quando
todos os ds(i) tenderem a 0, os dv(i) tambem tenderao (isto eh o que
significa admitir v variar continuamente com s), e entao a soma dessas areas
tende (veja na figura!!) a area de um triangulo retangulo isosceles cuja
hipotenusa estah contida na bissetriz,  cujo cateto v(final), e cuja area eh
v^2/2, onde v = v(final).
[No caso em que v(0) nao eh 0, serah um trapezio com base
v(final)-v(inicial) e base media igual a metade disto.]
Faca a figura!
JP






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From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, July 20, 2001 3:56 PM
Subject: Re: Como provar que E=1/2(mv^2)?