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Re: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
From: danielpsobreira@xxxxxxxxxxxxxx
Date: Tue, 10 Jul 2001 17:54:13 -0400
In-Reply-To: <LAW2-F57DwP6SAH2JZZ000141ac@hotmail.com>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx

oi marcio,
acho que vc leu a questao errada...pois...nao e
1/raiz_2(c^2 + 2*a*b)que tem na prova e sim...
1/raiz_2(c^2 + 8*a*b)

-- Mensagem original --

>Ola Marcio,
>Ola Pessoal,
>
>SALVO MELHOR JUIZO, nao acho que o caminho que voce delineou abaixo seja
>bom 
>... Eu agora estou sem tempo para pensar com mais acuidade, mas, em minha
>
>opiniao, voce deve partir da conhecida desigualdade entre as medias 
>aritmetica e geometrica :
>
>(a + b)/2 >= raiz_2(a*b)
>
>Daqui : a + b >= 2*raiz_2(a*b) => a + b + c >= c + 2*raiz_2(a*b)
>a + b + c >= c + raiz_2(2)*raiz_2(a*b).
>a + b + c >= raiz_2(c^2 + 2*a*b)
>1/(a + b + c) <= 1/raiz_2(c^2 + 2*a*b)
>
>c/(a + b + c) <= c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)... Desigualdade (1)
>
>Agora, partindo de :
>(b + c)/2 >= raiz_2(b*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a
>a/(a + b + c) <= a/raiz_2(a^2 + 2*b*c) ... Desigualdade (2)
>
>E, finalmente, partindo de :
>(a + c)/2 >= raiz_2(a*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a
>b/(a + b + c) <= b/raiz_2(b^2 + 2*a*c) ... Desigualdade (3)
>
>Somando, membro a membro, as tres desigualdades :
>
>1<=c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)+ a/raiz_2(a^2 + 2*b*c)+ b/raiz_2(b^2 + 2*a*c)
>Que e o que voce deseja demonstrar.
>
>Eu estou com pouco tempo, mas, atendendo o apelo do Prof Nicolau e do Colega
>
>Marcelo Rufino, que gostariam de ver solucoes diferentes das que sao 
>apresentadas no Site onde publicam as solucoes das questoes IMO, bolei,

>neste ultimo domingo (ontem) duas outras maneiras diferentes de fazer aquela
>
>questao que a lenda diz ser a mais dificil de todas as IMOS :
>
>Se (a^2 + b^2)/(a*b + 1) e um inteiro, entao este inteiro e um quadrado

>perfeito.
>
>1) A primeira e geometrica, interpretando "a" e "b" como catetos de um

>triangulo retangulo
>2) A segunda e por progressoes geometricas, interpretando (a^2 + b^2)/(a*b
>+ 
>1) como
>
>(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= a^2/(ab+1)  +  b^2/(ab + 1)
>(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= 1/(b/a + 1/a^2) +  1/(a/b + 1/b^2)
>
>Em verdade, ha muito tempo atras, eu e o nosso muito estimado colega Bruno
>
>Leite, membro desta lista, ( que ha muito nao escreve para a lista e anda
>
>desaparecido) encontramo-nos num Chat e passamos a discutir sobre esta

>questao, quando entao o Bruno me apresentou uma  solucao "tipo resolucao
>de 
>equacao do 2 grau" e eu apresentei as duas solucoes a que me referi acima.
>
>Eu nao guardo as solucoes que faco, de forma que tive que redescobrir meu
>
>raciocinio para dar este presente a voces. Logo, logo, quando  nos proximos
>
>dias eu tiver um tempo livre, vou publicar aqui estas solucoes.
>
>De coracao,
>
>Um abraco a todos
>Paulo Santa Rita
>2,1657,09072001
>
>
>
>
>
>
>
>>From: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>>Date: Mon, 9 Jul 2001 02:19:55 -0300
>>
>>Bom, a ideia que eu tive foi bem parecida com a sua..
>>eu fiz x=bc/a^2, y=ac/b^2 e z=ab/c^2 pra tentar provar que
>>1/sqrt(1+8x) + 1/sqrt(1+8y) + 1/sqrt(1+8z) >=1 se xyz=1.
>>fazendo u=sqrtz(1+8x), v=sqrt(1+8y) e w=sqrt(1+8z), fico tendo que provar
>>que:
>>S2 >= S3, onde S1, S2, S3 sao as somas simetricas 1a1, 2a2, 3a3.
>>o que eu posso usar eh que (u^2-1)(v^2-1)(w^2-1)=8^3, ou o que eh
>>equivalente,
>>(S1+S3)^2 - (S2+1)^2 = 256.
>>alem disso, posso usar alguma coisa que use o fato de u,v,w serem
>>positivos.. algo como:
>>S1,S2 >=5;  S3>=3 ou, a que eu tentei por ultimo, (S1)/3 >= (S3)^(1/3)
>>aceito ajudas para juntar tudo isso..
>>Abracos,
>>Marcio
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome
>
>>de
>>Bruno Leite
>>Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 23:53
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Assunto: Re: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>>
>>
>>Sobre o segundo problema:
>>
>>Se (a,b,c) satisfaz a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab)
>>= 
>>1
>>ent?o (ka,kb,kc) (k>0) também satisfaz. Ent?o podemos supor que abc=1/8.
>>
>>Ent?o ficamos com 1/sqrt(1+8bc/a^2)+1/sqrt(1+8ac/b^2)+1/sqrt(1+8ab/c^2)>=1
>>ou 1/sqrt(1+8abc/a^3)+1/sqrt(1+8abc/b^3)+1/sqrt(1+8abc/c^3)>=1 ou
>>1/sqrt(1+8/a^3)+1/sqrt(1+8/b^3)+1/sqrt(1+8/c^3)>=1 com abc=1/8.
>>
>>Veja que se 1/a^3=A, 1/b^3=B e 1/c^3=C temos ABC=512 e temos que provar
>que
>>
>>1/sqrt(1+A)+1/sqrt(1+B)+1/sqrt(1+C)>=1 se ABC=512 (**)
>>
>>Eu consegui provar um resultado parecido só que mais fraco:
>>
>>1/(1+A)+1/(1+B)+1/(1+C)>=1/3 se ABC=512
>>
>>Isso n?o implica (**) pois ( sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z) )^2 =< 3*(x+y+z),
para
>>quaisquer x, y, z >0.
>>
>>Bom, eu nem sei se estou no caminho certo, mas, mesmo assim, alguém tem
>>alguma idéia para provar (**)?
>>
>>Bruno Leite
>>
>>-----Mensagem original-----
>>De: Marcio <mcohen@iis.com.br>
>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Data: Domingo, 8 de Julho de 2001 18:28
>>Assunto: ENC: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>>
>>
>> >Acabei de receber isso em outra lista.. Agora vou tentar fazer
>> >(provavelmente sem sucesso :) e depois mandar meus comentarios pra gente
>> >debater na lista!
>> >Abracos,
>> >Marcio
>> >
>> >-----Mensagem original-----
>> >De: Mojca Miklavec [mailto:mojca.miklavec@guest.arnes.si]
>> >Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 15:41
>> >Para: imo-problems@egroups.fr
>> >Assunto: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>> >
>> >
>> >
>> >1. Let ABC be an acute-angled triangle with circumcentre O. Let P on
BC
>
>>be
>> >the foot of the altitude from A.
>> >
>> >Suppose that <)BCA >= <)ABC + 30°.
>> >
>> >Prove that <)CAB + <)COP < 90°.
>> >
>> >
>> >2. Prove that
>> >
>> >a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >= 1
>> >
>> >for all positive real numbers a, b and c.
>> >
>> >
>> >3. Twenty-one girls and twenty-one boys took part in a mathematical
>> >contest.
>> >
>> >- Each contestant solved at most six problems.
>> >- For each girl and each boy, at leat one problem was solved by both
of
>> >them.
>> >
>> >Prove that there was a problem that was solved by at least three girls
>
>>and
>> >at leat three boys.
>> >
>> >
>> >imo-problems is part of the IMO network, http://imonet.online.fr/
>> >remember to go there and add your name !
>> >----
>> >To receive these messages in a daily digest, email
>> >imo-problems-digest@egroups.com
>> >To stop recieving these messages, email imo-problems-nomail@egroups.com
>> >You can always view and reply to messages on-line, at
>> >http://www.egroups.com/group/imo-problems
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