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Re: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
Ola Marcio,
Ola Pessoal,
SALVO MELHOR JUIZO, nao acho que o caminho que voce delineou abaixo seja bom
... Eu agora estou sem tempo para pensar com mais acuidade, mas, em minha
opiniao, voce deve partir da conhecida desigualdade entre as medias
aritmetica e geometrica :
(a + b)/2 >= raiz_2(a*b)
Daqui : a + b >= 2*raiz_2(a*b) => a + b + c >= c + 2*raiz_2(a*b)
a + b + c >= c + raiz_2(2)*raiz_2(a*b).
a + b + c >= raiz_2(c^2 + 2*a*b)
1/(a + b + c) <= 1/raiz_2(c^2 + 2*a*b)
c/(a + b + c) <= c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)... Desigualdade (1)
Agora, partindo de :
(b + c)/2 >= raiz_2(b*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a
a/(a + b + c) <= a/raiz_2(a^2 + 2*b*c) ... Desigualdade (2)
E, finalmente, partindo de :
(a + c)/2 >= raiz_2(a*c) e repetindo o raciocinio, voce chegara a
b/(a + b + c) <= b/raiz_2(b^2 + 2*a*c) ... Desigualdade (3)
Somando, membro a membro, as tres desigualdades :
1<=c/raiz_2(c^2 + 2*a*b)+ a/raiz_2(a^2 + 2*b*c)+ b/raiz_2(b^2 + 2*a*c)
Que e o que voce deseja demonstrar.
Eu estou com pouco tempo, mas, atendendo o apelo do Prof Nicolau e do Colega
Marcelo Rufino, que gostariam de ver solucoes diferentes das que sao
apresentadas no Site onde publicam as solucoes das questoes IMO, bolei,
neste ultimo domingo (ontem) duas outras maneiras diferentes de fazer aquela
questao que a lenda diz ser a mais dificil de todas as IMOS :
Se (a^2 + b^2)/(a*b + 1) e um inteiro, entao este inteiro e um quadrado
perfeito.
1) A primeira e geometrica, interpretando "a" e "b" como catetos de um
triangulo retangulo
2) A segunda e por progressoes geometricas, interpretando (a^2 + b^2)/(a*b +
1) como
(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= a^2/(ab+1) + b^2/(ab + 1)
(a^2 + b^2)/(a*b + 1)= 1/(b/a + 1/a^2) + 1/(a/b + 1/b^2)
Em verdade, ha muito tempo atras, eu e o nosso muito estimado colega Bruno
Leite, membro desta lista, ( que ha muito nao escreve para a lista e anda
desaparecido) encontramo-nos num Chat e passamos a discutir sobre esta
questao, quando entao o Bruno me apresentou uma solucao "tipo resolucao de
equacao do 2 grau" e eu apresentei as duas solucoes a que me referi acima.
Eu nao guardo as solucoes que faco, de forma que tive que redescobrir meu
raciocinio para dar este presente a voces. Logo, logo, quando nos proximos
dias eu tiver um tempo livre, vou publicar aqui estas solucoes.
De coracao,
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
2,1657,09072001
>From: "Marcio" <mcohen@iis.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: RES: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>Date: Mon, 9 Jul 2001 02:19:55 -0300
>
>Bom, a ideia que eu tive foi bem parecida com a sua..
>eu fiz x=bc/a^2, y=ac/b^2 e z=ab/c^2 pra tentar provar que
>1/sqrt(1+8x) + 1/sqrt(1+8y) + 1/sqrt(1+8z) >=1 se xyz=1.
>fazendo u=sqrtz(1+8x), v=sqrt(1+8y) e w=sqrt(1+8z), fico tendo que provar
>que:
>S2 >= S3, onde S1, S2, S3 sao as somas simetricas 1a1, 2a2, 3a3.
>o que eu posso usar eh que (u^2-1)(v^2-1)(w^2-1)=8^3, ou o que eh
>equivalente,
>(S1+S3)^2 - (S2+1)^2 = 256.
>alem disso, posso usar alguma coisa que use o fato de u,v,w serem
>positivos.. algo como:
>S1,S2 >=5; S3>=3 ou, a que eu tentei por ultimo, (S1)/3 >= (S3)^(1/3)
>aceito ajudas para juntar tudo isso..
>Abracos,
>Marcio
>
>-----Mensagem original-----
>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome
>de
>Bruno Leite
>Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 23:53
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto: Re: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>
>
>Sobre o segundo problema:
>
>Se (a,b,c) satisfaz a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >=
>1
>ent?o (ka,kb,kc) (k>0) também satisfaz. Ent?o podemos supor que abc=1/8.
>
>Ent?o ficamos com 1/sqrt(1+8bc/a^2)+1/sqrt(1+8ac/b^2)+1/sqrt(1+8ab/c^2)>=1
>ou 1/sqrt(1+8abc/a^3)+1/sqrt(1+8abc/b^3)+1/sqrt(1+8abc/c^3)>=1 ou
>1/sqrt(1+8/a^3)+1/sqrt(1+8/b^3)+1/sqrt(1+8/c^3)>=1 com abc=1/8.
>
>Veja que se 1/a^3=A, 1/b^3=B e 1/c^3=C temos ABC=512 e temos que provar que
>
>1/sqrt(1+A)+1/sqrt(1+B)+1/sqrt(1+C)>=1 se ABC=512 (**)
>
>Eu consegui provar um resultado parecido só que mais fraco:
>
>1/(1+A)+1/(1+B)+1/(1+C)>=1/3 se ABC=512
>
>Isso n?o implica (**) pois ( sqrt(x)+sqrt(y)+sqrt(z) )^2 =< 3*(x+y+z), para
>quaisquer x, y, z >0.
>
>Bom, eu nem sei se estou no caminho certo, mas, mesmo assim, alguém tem
>alguma idéia para provar (**)?
>
>Bruno Leite
>
>-----Mensagem original-----
>De: Marcio <mcohen@iis.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Domingo, 8 de Julho de 2001 18:28
>Assunto: ENC: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
>
>
> >Acabei de receber isso em outra lista.. Agora vou tentar fazer
> >(provavelmente sem sucesso :) e depois mandar meus comentarios pra gente
> >debater na lista!
> >Abracos,
> >Marcio
> >
> >-----Mensagem original-----
> >De: Mojca Miklavec [mailto:mojca.miklavec@guest.arnes.si]
> >Enviada em: Domingo, 8 de Julho de 2001 15:41
> >Para: imo-problems@egroups.fr
> >Assunto: [imo-problems] IMO 2001 Problems, First Day
> >
> >
> >
> >1. Let ABC be an acute-angled triangle with circumcentre O. Let P on BC
>be
> >the foot of the altitude from A.
> >
> >Suppose that <)BCA >= <)ABC + 30°.
> >
> >Prove that <)CAB + <)COP < 90°.
> >
> >
> >2. Prove that
> >
> >a/sqrt(a^2+8bc) + b/sqrt(b^2+8ca) + c/sqrt(c^2+8ab) >= 1
> >
> >for all positive real numbers a, b and c.
> >
> >
> >3. Twenty-one girls and twenty-one boys took part in a mathematical
> >contest.
> >
> >- Each contestant solved at most six problems.
> >- For each girl and each boy, at leat one problem was solved by both of
> >them.
> >
> >Prove that there was a problem that was solved by at least three girls
>and
> >at leat three boys.
> >
> >
> >imo-problems is part of the IMO network, http://imonet.online.fr/
> >remember to go there and add your name !
> >----
> >To receive these messages in a daily digest, email
> >imo-problems-digest@egroups.com
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> >http://www.egroups.com/group/imo-problems
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