Equacoes Diofantinas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Esta mensagem e tambem  uma tentativa de restabelecer contato com um colega 
desta Lista com o qual nos estavamos discutindo em Off sobre problemas 
ligados a equacoes diofantinas nao-lineares.

Por problemas no Hotmail ou no Sistema de Seguranca de Nossa Rede, as 
mensagens do Estimado Colega - Duda : Eduardo Casagrande Stabel - nao estao 
chegando a minha caixa de correio, o que esta obstando a continuidade de 
nossa estimulante correspondencia.

A ideia original da discussao era estabelecer um metodo ou contexto no qual 
inumeros problemas que foram e que sao tratados isoladamente possam ser 
abordados de maneira uniforme e universal.

Seja P(N)=A*(N^2) + B*N + C um polinomio, com N variando nos naturais, isto 
e : N = 1, 2, 3, ... Podemos coloca-lo em outra roupagem, a saber

P(N) = A*(N^2) - A*N + A*N + B*N + C
P(N) = A*(N^2  - N) + (A+B)*N  + C
P(N) = 2*A*[ (N^2 - N)/2 ] + (A+B)*N + C

Sendo BINOM(N,P) = Numero Binomial de Numerador N e Denominador P, isto e:

BINOM(N,P)= N! / ( P!*(N-P)! )

entao :
P(N)=2A*BINOM(N,2) + (A+B)*BINOM(N,1) + C*BINOM(N,0)

Se representarmos por <A,B,C> o vetor de coordenadas A, B e C, teremos :

P(N)=<2A,A+B,C >.<BINOM(N,2), BINOM(N,1),BINOM(N,0)>

E podemos passar a interpretar os sucessivos valores de P(N) como as 
projecoes dos vetores

G(N) = <BINOM(N,2), BINOM(N,1),BINOM(N,0)>

Sobre a reta de suporte do vetor <2A, A+B, C > multiplicada ( as projecoes ) 
pelo modulo de <2A, A+B, C>.

Esta mudanca, a principio, pode parecer pesadona e complicada, mas nao e. 
Vamos mostrar que ela e proficua e conduz a uma abordagem elegante e 
geometrica.

Sejam P(N) = A*(N^2) + B*N + C  e  Q(M) = D*(M^2) + E*M + F. Queremos 
encontrar todos os pares de inteiros (N,M) que satisfazem a equacao :

P(N) = Q(M)

Pelo que apresentamos acima, esta equacao pode assumir a seguinte 
configuracao :

<2A,A+B,C >.<BINOM(N,2), BINOM(N,1),BINOM(N,0)> =
<2D,D+E,F >.<BINOM(M,2), BINOM(M,1),BINOM(M,0)>

E agora, ao inves de um problema eminentemente numerico, temos um problema 
eminentemente geometrico :

Ao longo da curva que serve de suporte aos sucessivos pontos ocupados pelas 
extremidades ( pontas das setas ) dos vetores G(N) devemos encontrar dois 
pontos de G(N) tais que :

modulo(<2A,A+B,C>)*(Projecao de G(N) na direcao <2A,A+B,C > ) = 
modulo(<2D,D+E,F>)*(Projecao de G(M) na direcao <2D,D+E,F>)

Sejam "R" e "S" as extremidades dos vetores <2A,A+B,C > e <2D,D+E,F> 
respectivamente. Sejam "T" e "U" os pes das perpendiculares tracadas, 
respectivamentes,  de G(N) na direcao de <2A,A+B,C > e de G(M) na direcao de 
<2D,D+E,F>.

Como as projecoes sao inversamente proporcionais aos modulos dos vetores 
entao, por semelhanca, podemos dizer que :

vetor T - U = K*(<2D,D+E,F> - <2A,A+B,C>)
para algum K real.
NOTA: vetor T - U = origem U e extremidade T

A equacao ( Bonita ! ) :

vetor T - U = K*(<2D,D+E,F> - <2A,A+B,C>)

E fundamental ! O que precisamos doravante e garantir que os pontos T e U 
provenham de pontos de coordenadas inteiras que atendem a expressao Binomial 
de G(N).

Para ver como isso e possivel, vou falar um pouco sobre um invariante das 
conicas pouco conhecido : a REFRINGENCIA. Alias, antes de falar sobre isso, 
alguem faria alguma critica a esta "Tentativa de Primeiro Artigo" ? Ficou 
claro ou esta nebuloso ?

Se ficou complicado ( eu o achei clarissimo ! ) peco desculpas desde ja : 
nao e mais e nao e menos que  apenas um modesta e despretenciosa "Tentativa 
de Primeiro Artigo".

Alo Duda, voce recebeu esta mensagem ?

Um Grande abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
4,1624,04072001




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