Re: Apresentação / Problemas

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Note que P(x) - 1 = A*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5). Como P(6) = 0, temos -1
= A*5*4*3*2*1, ou seja, temos A=  -1/120. Daí, P(x)
= -(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)/120  + 1.
Fazendo x=0, temos P(0) = 2.
¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Fernando Henrique Ferraz <mentus@berlin.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 1 de Julho de 2001 18:12
Assunto: Apresentação / Problemas


>         Olá,
>
>                 Embora já tivesse participado uma parca vez da lista, me
>apresento novamente. Sou estudante do Ensino Médio, 3ºano, adoro matemática
>e tenho (mais uns amigos) uma página que (a lentos passos) venho
>desenvolvendo, com exercícios, tutoriais etc, sobre Fïsica, Química e
>Matemática. Por enquanto só a sessão de Matemática tem alguns exercícios e
>um tutorial, de qualquer forma, fica ai o endereço: www.exatas.f2s.com,
>críticas e sugestões serão bem-vindas.
>                 Bom, espero não estar fugindo do propósito da lista (que
>pelo que pude ler se foca mais na olimpiada brasileira de matemática) mas
>gostaria de expor aqui alguns problemas de matemática nos quais fiquei meio
>enroscado, e ficaria grato se alguém pudesse me dar algum auxílio.
>Novamente peço desculpas se fujo do propósito da lista.
>
>_1_________________________________________________________________________
_____
>matéria: polinômios
>origem: IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 6. P182-F,
>Ex. TF42.
>
>(ITA-1977) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 =
>P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:
>a) P(0) = 4
>b) P(0) = 3
>c) P(0) = 9
>d) P(0) = 2 (resposta)
>e) N.D.A.
>
>Bom, dado um polinômio do 5º grau, representei-o da seguinte forma:
>         ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f
>E montei P(1) até P(6)
>P(1) = a + ... + f = 1
>P(2) = 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 1
>P(3) = 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 1
>P(4) = 1024a + 256b + 64c + 16d + 4e + f = 1
>P(5) = 3125a + 625b + 125c + 25d + 5e + f = 1
>P(6) = 7776a + 1296b + 216c + 36d + 6e + f  = 0
>
>O problema pede P(0) = ?. P(0) = f (todos os coeficientes que tem x zeram).
>Para achar f,  depois de procurar em vão por outras alternativas, ontei um
>sistema (a partir dessas 6 variáveis e seis igualdades) e o escalonei.
>Chegando a resposta f = 2, P(0) = 2, alternativa d.
>O que eu me questiono é se não há nenhum outro modo mais simples de se
>chegar a solução, posto que esse escalonamento tomou cerca de 1 hora e 5
>folhas manuscritas, o que (mesmo para o ITA) soa insano num vestibular,
>além de ser excessivamente braçal.
>
>-2-------------------------------------------------------------------------
-----------------------------------------------------------------------
>
>Esse segundo não é exatamente um problema, mas uma dúvida que me veio.
>Estou estudando pela coleção do G. Iezzi mas apesar de boa em certos pontos
>eu acho que às vezes fica muito complicada de se entender (pelo menos numa
>abordagem autodidata).
>Estava vendo ontem a noite o P.I.F, Princípio da Indução Finita (vol 1,
>p.58 item 58), que diz em resumo o seguinte:
>         Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é
>verdadeira para todo n pertencente aos naturais, n > n0, desde que:
>         1º) P(n0) é verdadeira, isto é, a propriedade é valida para n=n0
>         2º) Se k pertencente aos naturais, k>= n0, e P(k) é verdadeira,
>então P(k+1) també é verdadeira.
>
>         Tá, então P(n) é aplicável se for aplicável ao primeiro número da
>sequência e a algum número aleatório k e ao seu sucessor. Pois bem..
>pegando por exemplo: y = 2^(2^n) + 1, para o qual todo numero N pertencente
>aos naturais, y será um número primo.
>         Verificamos P(n0)  = y = 2^(2^0) + 1 = 3, certo,  3 é primo
>         Verificamos P(2) = 17 (primo..) e o seu sucessor P(3)=257
>(primo).... pronto... é válida!  (tah.. eu sei que não é válida, mas fiz
>por isso mesmo).
>         Também sei que ao invés de 2 e 3 deveria ter usado k e k+1, mas o
>que quero dizer é.. tem algum caso em que o PIF mostre que uma proposição
>não é verdadeira? Por que pelo que pude entender, ele sempre vai assumir
>que P(k) é verdadeira , então P(k+1) também! De qualquer forma, alguém
>poderia me indicar uma dedução que usasse a PIF e demostrasse que a fórmula
>é inválida (é valida para k mas não para k+1)?
>
>
>Grato,
>
>
>
>
>"Against stupidity, the Gods themselves contend in vain",
>     Friedrich von Schiller's
>-
>[]'s
>Fernando Henrique Ferraz / {O-Grande-Mentecapto]
>mentus@berlin.com
>
>
>