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Apresentação / Problemas
Olá,
Embora já tivesse participado uma parca vez da lista, me
apresento novamente. Sou estudante do Ensino Médio, 3ºano, adoro matemática
e tenho (mais uns amigos) uma página que (a lentos passos) venho
desenvolvendo, com exercícios, tutoriais etc, sobre Fïsica, Química e
Matemática. Por enquanto só a sessão de Matemática tem alguns exercícios e
um tutorial, de qualquer forma, fica ai o endereço: www.exatas.f2s.com,
críticas e sugestões serão bem-vindas.
Bom, espero não estar fugindo do propósito da lista (que
pelo que pude ler se foca mais na olimpiada brasileira de matemática) mas
gostaria de expor aqui alguns problemas de matemática nos quais fiquei meio
enroscado, e ficaria grato se alguém pudesse me dar algum auxílio.
Novamente peço desculpas se fujo do propósito da lista.
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matéria: polinômios
origem: IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar vol. 6. P182-F,
Ex. TF42.
(ITA-1977) Se P(x) é um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1 =
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos:
a) P(0) = 4
b) P(0) = 3
c) P(0) = 9
d) P(0) = 2 (resposta)
e) N.D.A.
Bom, dado um polinômio do 5º grau, representei-o da seguinte forma:
ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f
E montei P(1) até P(6)
P(1) = a + ... + f = 1
P(2) = 32a + 16b + 8c + 4d + 2e + f = 1
P(3) = 243a + 81b + 27c + 9d + 3e + f = 1
P(4) = 1024a + 256b + 64c + 16d + 4e + f = 1
P(5) = 3125a + 625b + 125c + 25d + 5e + f = 1
P(6) = 7776a + 1296b + 216c + 36d + 6e + f = 0
O problema pede P(0) = ?. P(0) = f (todos os coeficientes que tem x zeram).
Para achar f, depois de procurar em vão por outras alternativas, ontei um
sistema (a partir dessas 6 variáveis e seis igualdades) e o escalonei.
Chegando a resposta f = 2, P(0) = 2, alternativa d.
O que eu me questiono é se não há nenhum outro modo mais simples de se
chegar a solução, posto que esse escalonamento tomou cerca de 1 hora e 5
folhas manuscritas, o que (mesmo para o ITA) soa insano num vestibular,
além de ser excessivamente braçal.
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Esse segundo não é exatamente um problema, mas uma dúvida que me veio.
Estou estudando pela coleção do G. Iezzi mas apesar de boa em certos pontos
eu acho que às vezes fica muito complicada de se entender (pelo menos numa
abordagem autodidata).
Estava vendo ontem a noite o P.I.F, Princípio da Indução Finita (vol 1,
p.58 item 58), que diz em resumo o seguinte:
Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é
verdadeira para todo n pertencente aos naturais, n > n0, desde que:
1º) P(n0) é verdadeira, isto é, a propriedade é valida para n=n0
2º) Se k pertencente aos naturais, k>= n0, e P(k) é verdadeira,
então P(k+1) també é verdadeira.
Tá, então P(n) é aplicável se for aplicável ao primeiro número da
sequência e a algum número aleatório k e ao seu sucessor. Pois bem..
pegando por exemplo: y = 2^(2^n) + 1, para o qual todo numero N pertencente
aos naturais, y será um número primo.
Verificamos P(n0) = y = 2^(2^0) + 1 = 3, certo, 3 é primo
Verificamos P(2) = 17 (primo..) e o seu sucessor P(3)=257
(primo).... pronto... é válida! (tah.. eu sei que não é válida, mas fiz
por isso mesmo).
Também sei que ao invés de 2 e 3 deveria ter usado k e k+1, mas o
que quero dizer é.. tem algum caso em que o PIF mostre que uma proposição
não é verdadeira? Por que pelo que pude entender, ele sempre vai assumir
que P(k) é verdadeira , então P(k+1) também! De qualquer forma, alguém
poderia me indicar uma dedução que usasse a PIF e demostrasse que a fórmula
é inválida (é valida para k mas não para k+1)?
Grato,
"Against stupidity, the Gods themselves contend in vain",
Friedrich von Schiller's
-
[]'s
Fernando Henrique Ferraz / {O-Grande-Mentecapto]
mentus@berlin.com