Re: obm 2000

[thiago-sobral@xxxxxxxxxx]

   Acho que a solução é isso mesmo, Eduardo, 
é bem interessante essa questão...o que 
realmente me "persegue" é aquela história das 
potencias de 2...
   Talvez eu não tenha sido bem claro no 
primeiro e-mail. As duas coisas que queria 
provar( ou disprovar) são:

 i) s(n)=s(n-1) se e somente se n=2^k
 ii) o(n)=2n-1 se e somente se n=2^k

  Será que os professores da lista poderiam 
me ajudar?

[], 
Thiago Sobral   


> Tente encontrar s(n-1) dentro de s(n), 
escrevendo da seguinte maneira:
> 
> SUM{ n mod k , k=1...n }=
> SUM{ n mod k , k=1...(n-1) }
> 
> Isso por que o ultimo termo eh "n mod n = 
0".
> Agora tente desmembrar n mod k, em (n-1) 
mod k + 1, e veja que:
> n mod k = (n-1) mod k + 1 se e somente se k 
nao divide n;
> e que se k divide n, entao n mod k = 0
> 
> Dai reescreva o ultimo somatorio como:
> 
> SUM{ (n-1 mod k) + 1 , k=1...n } - SUM{ (n-
1 mod k) + 1, k divide n e k<n }
> 
> Veja que sempre que k divide n, (n-1) mod k 
= k-1, e podemos reescrever o
> somatorio como:
> 
> SUM{ (n-1 mod k) + 1 , k=1...n-1 } - SUM{ 
k , k divide n e k<n }=
> SUM{ (n-1 mod k), k=1...n-1 } + (n-1) - SUM
{ k , k divide n e k<n }
> 
> Note que SUM{ k , k divide n e k<n } = o
(n) - n, pois temos todos os
> divisores positivos de n exceto o proprio 
n. Segue que o somatorio da:
> 
> SUM{ (n-1 mod k), k=1...n-1 } + (n-1) - ( o
(n) - n ) =
> SUM{ (n-1 mod k), k=1...n-1 } + (2n-1) - o
(n) =
> s(n-1) + (2n -1) - o(n)
> 
> Ou seja:
> s(n) = s(n-1) + (2n-1) - o(n)
> 
> Segue que s(n) = s(n-1) se e somente se (2n-
1) - o(n) = 0, ou seja, se n eh
> quase perfeito.
> 
> Quanto a questao que voce levanta eu nao 
sei dizer. Talvez seja um problema
> em aberto.
> 
> Esta certa essa soluccao?
> 
> Obrigado!
> Eduardo Casagrande Stabel.
> 
> 
> 
> 
> From: <thiago-sobral@bol.com.br>
> >   A respeito do problema 2 da 3a fase da 
obm
> > nivel 3, do ano passado:
> >
> >  PROBLEMA 2:
> >
> > Seja o(n) a soma de todos os divisores
> > positivos de n,  onde n é um inteiro 
positivo
> > (por exemplo, o(6)=12 e o(11)=12 e Dizemos
> > que n é quase perfeito se o(n)=2n-1 (por
> > exemplo, 4 é quase perfeito, pois o(4) = 
7).
> > Sejam s(n)=sum(n mod k), k=1 a n (por
> > exemplo: s(6) = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3 
e s
> > (11) = 0 + 1 + 2 + 3 + 1 + 5 + 4 + 3 + 2 
+ 1
> > + 0 = 22).
> >
> > Prove que s(n)=s(n-1) sss n é quase 
perfeito.
> >
> > Na prova, conjecturei que isso aconteceria
> > somente para n sendo potencia de 2. Alguem
> > poderia provar ou desprovar isso?
> >
> > [],
> >
> > Thiago Sobral
> >
> >
> >
> >
> >
> > 
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