Re: Questao de Analise

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

So para constar.
As formulas que voce comenta (que eu tambem ja conhecia, mas nao percebi que
resolviam o problema) nao aparecem neste livro do Elon.
Se a proporccao dos impares para os pares eh IRRACIONAL, eu acredito que o
Elon colocou o exercicio de um outro livro neste sem querer; ou entao ele
mesmo poderia explicar o porque, eu ja mandei um e-mail para ele, mas nao
recebi resposta.


From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
>
>
> On Mon, 4 Jun 2001, Eduardo Casagrande Stabel wrote:
>
> ...
> > O exercicio que eu proponho (que esta no livro Elon Lages Lima, "Analise
> > Real" Volume 1) eh o seguinte:
> > Pagina 47 (exercicio 2). Efetue explicitamente uma reordenaccao dos
termos
> > da serie (1-1/2+1/3-1/4+-...) de modo que sua soma se torne igual a 1/2.
>
> Não sei se o que eu vou dar conta como solução explícita, mas...
>
> 1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n-1) ~= log 2 + (log n + gamma)/2
> 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2n   ~=         (log n + gamma)/2
>
> onde ~= significa que o limite da diferença é zero,
> todos os log são na base 'e' e gamma é a constante de Euler.
> Estas fórmulas seguem de
>
> 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... - 1/2n ~= log 2
> 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... + 1/2n ~= log 2 + log n + gamma,
>
> fórmulas bem conhecidas (mas que eu não acredito que apareçam
> no livro do Elon).
>
> Se desejamos reordenar os termos para obter outra soma a
> (qualquer número real) devemos tomar aproximadamente b ímpares para
> cada par, ou seja estamos calculando
>
> (1 + 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2bn-1)) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + ... + 1/2n) ~=
> ~= log 2 + (log bn + gamma)/2 - (log n + gamma)/2 = log 2 + log b = a
>
> ou seja, b = exp(a)/2. No seu caso, a = 1/2 donde b = exp(1/2)/2,
> um número irracional, o que me leva a ter pouca fé na existência
> de uma solução mais elementar ou mais explícita. Por outro lado,
> duvido que o Elon tivesse em mente a solução que eu acabo de apresentar.
>
> []s, N.
>
>
>
>