Re: RES: Primos, multiplos e divisores

[Olimpiada Brasileira de Matematica <obm@xxxxxxx>]

   Oi,pessoal,
   Alem disso,os primos em Z que sao irredutiveis (ou primos) em Z[i] sao exatamente
 os primos positivos congruentes a 3 modulo 4 (e seus simetricos aditivos).Por outro
 lado,2=(1+i)(1-i),donde 2 nao e' primo em Z[i],mas 1+i,1-i,-(1+i) e -(1-i) sao,e 
primos congruentes a 1 modulo 4 podem ser escritos como soma de dois quadrados.
Teremos entao p=(a+bi)(a-bi),e (a+bi),(a-bi),-(a+bi),-(a-bi) sao primos em Z[i],
completando a nossa lista.
   Um problema que usa aritmetica em Z[i]:Prove que um triangulo com lados e area 
inteiros pode ser colocado no plano com vertices de coordenadas inteiras.
   A prova da existencia e unicidade de fatoracao como produto de primos usa o fato de 
que o mdc de dois numeros em Z[i] e' combinacao linear deles (com coeficientes em Z[i]).
A prova dessas coisas e' bastante analoga a prova desses fatos para Z (vejam meu artigo 
na Eureka 2),e usa a divisao com resto em Z[i]:dados a e b em Z[i] com b nao nulo existem 
q e r em Z[i] tais que a=bq+r e |r|<|b| (provem isso e usem para provar as afirmacoes acima). 
    Abracos,
            Gugu

At 14:05 06/06/01 -0300, you wrote:
>
>
>On Wed, 6 Jun 2001, Einstein wrote:
>
>> Acho que não devo ter sido claro...
>> O que são inteiros gaussianos, e como é o critério de divisibilidade
>> deles... E além disso poderiam dizer algumas propriedades deles ...
>
>Inteiros gaussianos são números complexos da forma a+bi com a e b inteiros.
>O conjunto dos inteiros gaussianos é normalmente denotado por Z[i]
>onde este Z deve ter uma barra dupla como no conjunto dos inteiros.
>Conjuntos como este, onde são definidas as operações +, - e *
>com as propriedades
>
>(x+y)+z = x+(y+z)
>0+x = x+0 = x
>x+(-x) = (-x)+x = 0
>x+y = y+x 
>x*(y*z) = (x*y)*z
>x*(y+z) = (x*y)+(x*z)
>(x+y)*z = (x*z)+(y*z)
>x*y = y*x
>x*1 = 1*x = x
>
>são chamados de anéis comutativos com unidade.
>Por isso falamos do anel dos inteiros gaussianos.
>
>Definimos a relação de divisibilidade da mesma forma em qualquer
>anel comutativo com unidade A:
>
>x|y <=> existe z com x*z=y
>
>Definimos
>
>x é inversível <=> existe y com x*y = 1
>
>(alguns preferem a palavra invertível) e dizemos ainda que
>
>x é irredutível (em A)  <=>  (para quaisquer y e z, x=y*z => y ou z inversível)
>
>e
>
>x é primo (em A) <=> (x|y*z => x|y ou x|z).
>
>Os conceitos de irredutível e de primo coincidem em Z, Z[i]
>e muitos outros anéis mas não sempre.
>
>Voltando a Z[i], neste anel há 4 inversíveis: +-1 e +-i.
>Nem todo inteiro primo continua a ser primo em Z[i]: 5 = (2+i)*(2-i).
>Mas em Z[i] ainda temos fatoração única em fatores primos (como em Z);
>por exemplo
>
>30 = (-i) * (1+i)^2 * 3 * (2+1) * (2-i)
>
>[]s, N.
>
>