Re: RES: Primos, multiplos e divisores

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 6 Jun 2001, Einstein wrote:

> Acho que não devo ter sido claro...
> O que são inteiros gaussianos, e como é o critério de divisibilidade
> deles... E além disso poderiam dizer algumas propriedades deles ...

Inteiros gaussianos são números complexos da forma a+bi com a e b inteiros.
O conjunto dos inteiros gaussianos é normalmente denotado por Z[i]
onde este Z deve ter uma barra dupla como no conjunto dos inteiros.
Conjuntos como este, onde são definidas as operações +, - e *
com as propriedades

(x+y)+z = x+(y+z)
0+x = x+0 = x
x+(-x) = (-x)+x = 0
x+y = y+x 
x*(y*z) = (x*y)*z
x*(y+z) = (x*y)+(x*z)
(x+y)*z = (x*z)+(y*z)
x*y = y*x
x*1 = 1*x = x

são chamados de anéis comutativos com unidade.
Por isso falamos do anel dos inteiros gaussianos.

Definimos a relação de divisibilidade da mesma forma em qualquer
anel comutativo com unidade A:

x|y <=> existe z com x*z=y

Definimos

x é inversível <=> existe y com x*y = 1

(alguns preferem a palavra invertível) e dizemos ainda que

x é irredutível (em A)  <=>  (para quaisquer y e z, x=y*z => y ou z inversível)

e

x é primo (em A) <=> (x|y*z => x|y ou x|z).

Os conceitos de irredutível e de primo coincidem em Z, Z[i]
e muitos outros anéis mas não sempre.

Voltando a Z[i], neste anel há 4 inversíveis: +-1 e +-i.
Nem todo inteiro primo continua a ser primo em Z[i]: 5 = (2+i)*(2-i).
Mas em Z[i] ainda temos fatoração única em fatores primos (como em Z);
por exemplo

30 = (-i) * (1+i)^2 * 3 * (2+1) * (2-i)

[]s, N.