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Re: Sobre o Problema 3N+1
Oi Paulo,
Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me fascina
na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma formulacao
bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema naum
eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele.
Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel
solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma pensada
nele.
A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum as
demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore
que comeca no 1 e vai descendo assim :
1
2
4
8
16
32 5
64 10
.....
Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero..... sei lah...
Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando
material relativo ao problema, ideias, solucoes......
[]'s
Rui Viana
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Sobre o Problema 3N+1
>Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47
>
>Ola Pessoal !
>
>Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo
>Prof
>Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura",
>dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue :
>
>Seja F:N -> N uma funcao, tal que
>F(n) = 3n+1, se "n" e impar
>F(n) = n/2, se "n" e par.
>
>Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)...)))), isto e, F^p(n) e a composicao
>de F com ela mesma "p" vezes, entao :
>
>CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
>F^p(n)=1.
>
>Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de
>Escol
>tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que
>qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ...
>
>Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos
>apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar alguns
>aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao !
>
>O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou
>SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum "n" impar aplicarmos F(n)=3n+1 e
>o
>resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2 ira
>nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia
>2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE ou SORVEDOURO, de forma
>que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira :
>
>CONJECTURA1 : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
>
>Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ?
>
>PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao "r" e par e "n" e da forma (4^s - 1)/3.
>
>Suponha um natural "n" da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar e,
>portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s). Por outro lado, se "n" e impar e 3n+1=2^r
>entao : n=(2^r - 1)/3. Se "r" for impar entao : r=2q+1 e ficara : n=(2.2^2q
>- 1 )/3= (2^2q)/3 + (2^2q - 1)/3 um absurdo, pois "n" e natural. Assim, nao
>pode ser r=2q+1.
>
>Aqui descobrimos algo interessante... Os numeros da forma n=(4^s - 1)/3 sao
>tais que F(n)=2^r (r=2s) e, reciprocamente, se F(n)=2^r entao
>n=(4^s - 1)/3 (r=2s). Isto mostra que a sequencia n=(4^s - 1)/3, "DE CERTA
>FORMA" pode ser vista como "PARALELA" ao SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
>
>Pois se "n" nao for da forma "2^r" e tambem nao for da forma (4^s - 1)/3
>entao, supondo correta a CONJETURA 3N+1, "n" devera necessariamente assumir
>a forma (4^s - 1)/3 antes de cair no SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Tudo sucede
>como se a sequencia n=(4^s - 1)/3 fosse um "ESTADO" no qual todo numero
>natural devera se transformar antes de cair no SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
>
>Bom. Ate aqui, o que conseguimos ? Podemos, sem duvida, reformular a
>conjectura de Siracusa e apresenta-la na forma :
>
>CONJECTURA2:Para todo "n" natural que nao e potencia de 2 e nao e da forma
>(4^s - 1)/3, existe um "p" natural tal que
>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
>
>OBS : Pois ja sabemos que 2^r e (4^s - 1)/3 necessariamente sao tais que
>F^p(n)=1, para algum p.
>
>A Imagem de "SEQUENCIAS PARALELAS" pode nos conduzir a belas
>simplificacoes.
>Para vermos como e possivel fazermos isso, vamos tentar entender quem
>desemboca em (4^s - 1)/3.
>
>Claramente que sendo (4^s - 1)/3 impar, serao "n" pares que apos F(n) se
>transformarao em (4^s - 1)/3. Serao, portanto, todos os numeros pares da
>forma :
>
>PAR = (2^q)*( (4^s - 1)/3 )
>
>Assim, fixado "s", existe uma infinidade de naturais ( todos eles ) "q" que
>formam uma sequencia Aq=(2^q)*( (4^s - 1)/3 ) para a qual
>F(Aq) "cai" ou "converge" para (4^s - 1)/3. A imaginacao nos leva a pensar
>na sequencia Aq como uma "linha orientada" apontando para
>(4^s - 1)/3, na qual marcamos os Aq indo para o infinito.
>
>Claramente que para todo "s" de (4^s - 1)/3 ha uma linha desse tido.
>
>Poderiamos agora esclarecer alguns aspectos sobre estas linhas, como, por
>exemplo, se elas se cruzam ou nao, isto e, se existem q1#q2 e s1#s2 tais
>que
>:
>
>(2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ) = (2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ).
>
>Mas por brevidade vamos deixar isso de lado, por enquanto. O que e
>importante e que, fixado "s", existe uma infinidade de "q" ( todos os
>naturais ) tais que (2^q)*( (4^s - 1)/3 ) se transforma em (4^s - 1)/3.
>
>Podemos transformar esta ideia num par : (s,q). Assim, a todo par (s,q)
>associamos o numero (2^q)*( (4^s - 1)/3 ). Isto significa que alguns
>numeros
>terao uma sequencia (s,q) associada, garantindo assim que ele atende ou
>satisfaz a CONJECTURA DE SIRACUSA.
>
>O MAPA
>
>Eu acho que aqui consegui explicar a essencia da minha ideia para atacar o
>problema 3N+1. Algumas coisas acessorias sao importantes e precisam ser
>provadas ( O problema do cruzamento das linhas acima e simples, porem muito
>importante ... ). A ideia e mapear os numeros que satisfazem a conjectura,
>associando a cada um deles uma sequencia finita de numeros naturais. A
>extensao das sequencias caracteriza, de certa forma, o quanto o numero esta
>"distante" do SORVEDOURO. Essa distancia pode ser medida com o numero de
>iteracoes da forma 3N+1.
>
>A ideia e mostrar que nenhum numero natural escapa a este mapeamento.
>
>E entao :
>
>1) Alguem preenche as lacunas e conclui a demonstracao ?
>2) Alguem apresentar uma ideia melhor ?
>3) Alguem quer criticar ?
>
>OBS : Eu nao vou ficar chateado se alguem quiser criticar e dizer que e uma
>ideia de Mongo, Jaba ou coisa parecida.
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>2,1110,07052001
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