Re: equações de recorrência

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Um livro motivador deste assunto - Recorrências - é o "Progressões e Mat.
Financeira"
do Morgado, Wagner e Zani, publicado pelo IMPA.

Falo também um pouco sobre isso nos meus livros de Progressão e Indução.

Para as aplicações nas Progressões Aritméticas de ordem k, podemos achar o
termo geral seguindo o exemplo do Fábio. Mas tem uma fórmula que facilita
bastante este cálculo.

Seja determinar o termo geral - a_i - da seqüência
6;   11;35;98;220; (não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
dois)
5,    24,63,122 .....(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
dois)   Delta a_i
19,  39,59...........(PA de 3ª ordem com razão r=20)    Delta^2 a_i
20,  20,20,.....
Delta^3 a_i

Como é PA de 3ª ordem, vem (a notação assusta mas o exemplo vai esclarecer):

a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + Delta^3
a_1 binom{i-1}{3}

a_i = 6 + 5(i-1) + 19(i-1)(i-2)/2 + 20(i-1)(i-2)(i-3)/6

Calculando a_5, resulta:

a_5 = 6 + 5*4 + 19*4*3/2 + 20*4*3*2/6 = 220.

E lembrando que podemos calcular a_0, vem:

a_0 = 6 - 5 + 19 - 20 = 0

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sexta-feira, 4 de Maio de 2001 10:02
Assunto: Re: equações de recorrência


Caro Henrique,
complementando o que o Eric colocou, diria que uma recorrência linear de
K-ésima ordem terá como função característica um polinômio de grau de K.
Seria interessante você procurar um livro específico sobre o assunto.
Certamente, tem no IMPA e nas edições da SBM.
Por exemplo, a(n+3) + a(n+2) + a(n+1) + a(n)=0 terá como termo geral da
seqüência algo do tipo A(n)=p*n^3+q*n^2+r*n+s. Lembrei-me de uma aplicação
interessante. Chamamos Prograssão Aritmética de ordem k, aquelas seqüências,
cuja diferença de seus termos está em algum momento (k-ésimo) em PA. Veja
bem, a seqüência não está em PA, somente a diferença de seus termos ou a
diferença da diferença,...Exemplificando, seja a seqüência abaixo:

6;11;35;98;220;(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a dois)
5,24,63,122 .....(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a dois)
19,39,59...........(PA de 3ª ordem com razão r=20)

Logo, o termo geral será da forma A(n)=a*n^3+b*n^2+c*n+d

A(1)=a+b+c+d=6 (substituindo n=1 e igualando o A1 da sequencia original)
A(2)=8a+4b+2c+d=11 (substituindo n=2 e.............)
A(3)=27a+9b+3c+d=35 (n=3)
A(4)=64a+16b+4c+d=98 (n=4)

Resolvendo-se o sistema, temos:

a=20/6; b= - 63/6; c=79/6 ;d=0  => A(n)= 20/6*n^3 - 63/6*n^2+79/6*n

Se quisermos saber o A(5), substituindo n=5, encontramos A(5)=220.

Gostaria de fazer um alerta. Quando nos é dada a seqüência em termos de uma
equação linear envolvendo, em vez dos elementos da sequencia, na forma a
seguir: a(n+3);a(n+2);a(n+1);a(n);a(n-1).  Basta observar a variação de
grau, neste caso é 4 (polinômio do 4º grau). No exemplo do Eric, Fibonacci,
foi 2 (polinômio do 2º grau).
Valeu Eric seu exemplo foi legal, um clássico.
Um abraço
Fábio