pentagono, novamente

Olá pessoal! Vejam outra solucao (por geometria sintetica) do problema do pentagono.

Resolução

1) Tracemos a diagonal AC, e em seguida tracemos quatro segmentos a ela perpendiculares: EG, MI, DH, e BF. Ficaram formados quatro triângulos retângulos iguais dois a dois que são D AEG = D ABF e D DHC = D FBC, por terem hipotenusas respectivamente iguais, como também ângulos agudos iguais (por terem os lados respectivamente perpendiculares).

Daí podemos escrever: EG = AF ; AG = BF ; BF = HC ; e DH = FC,

Conseqüentemente teremos: AG = BF = HC

2) Observemos que EG // MI // DH , conseqüentemente se M é o ponto médio de ED (por hipótese) , o ponto I será médio de GH, e como já vimos que AG = HC , concluímos que o ponto I será médio de AC .

3) Consideremos o trapézio retângulo HDEG e MI é a sua base média, daí teremos:

MI = (DH + EG) /2 ou MI = (FC + AF) / 2 , e daí MI = AC / 2

Tracemos MA e MC, e notemos que se o ponto I é médio de AC, então teremos: MI = AI = IC e, consequentemente, o triangulo AMC é retângulo e isóscele.

Observações:

1) Autoria da solução deste problema: Prof. Miguel Jorge

2) Descrição, explicação e digitalização: Prof. Maurício Ary Jalom.

[]s, Josimar