RE: Parte inteira - insistente (Huntley)

[Eduardo Grasser <grasser@xxxxxxxxxxxx>]

Desculpe entrar na conversa, mas o livro do Huntley não é mais publicado, é? 
Tive acesso ao livro pela biblioteca do LEM (laboratório de ensino da matemática) da UNICAMP. Amei! 
Procurei na internet e achei apenas a versão em inglês (não tenho, assim, como apaixonar um aluno que não tem familiaridade com a língua). Alguém sabe como arrumo a versão publicada pela Unb na década de 80? É um dos livros que faz falta na minha biblioteca particular.

Eduardo Grasser
Campinas SP
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De:	Paulo Santa Rita[SMTP:p_ssr@hotmail.com]
Enviada em:	Quarta-feira, 18 de Abril de 2001 15:35
Para:	obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto:	Re: Parte inteira - insistente

Ola Luis Lopes, Villard e
demais colegas da Lista :

Saudacoes !

Tambem achei este problema sobre a serie dos inversos dos numeros de 
Fibonaci, interessante ... Nao me lembro de sua publicacao em algum momento 
anterior.

Acredito que uma observacao do Villard, em essencia, resolveu a questao, 
cabendo-nos agora tao somente detalhar sua implicacoes. Eu nao levarei a 
solucao ate o final, mas vou indicar um caminho segura para se chegar a 
isso.

Antes gostaria de Citar um Livro :

A Divina Proporcao
(Subtitulo : Um ensaio sobre a beleza na Matematica)
H.E. Huntley
Editora Universidade de Brasilia.

Neste livro existe muita coisa interessante sobre o trio amoroso : numero de 
ouro, divisao em media e extrema razao e numeros de Fibonaci. So para aticar 
a curiosidade, alguem conhece uma sequencia infinita, nao constante, que 
seja simultaneamente progressao geometrica e aritmetica ? Vale a pena le-lo 
!

Seja { 1, 1, 2, 3, 5, ..., Fn, ... } a sequencia de Fibonaci. Todos nos 
conhecemos a formula de recorrencia para esta sequencia :

Fn+2 = Fn+1   +   Fn.

A sequencia que interessa e : { 1, 1, 1/2, 1/3, 1/5, ..., 1/Fn, ... }. Vou 
representar um termo generico desta sequencia por Gn. Assim : Gn = 1/Fn.

Convencionando que “RZ_2(5)” representa a “raiz quadrada 
de cinco”, o numero fi - que muitos chamam de “numero de 
ouro” e que aqui sera representado por H – pode ser expresso 
como :

H = ( ( 1  +  RZ_2(5) ) / 2 ). Daí seque que :  (–1) / H = ( ( 1  -  
RZ_2(5) ) / 2 )

Sabemos que Binet mostrou que :

Fn = ( 1 / RZ_2(5) )*( H^n   -   (-1/H)^n ). Daqui sai facil que  : LIM  
Fn+1/Fn = H. E como Gn=1/Fn, segue que Gn+1 / Gn = Fn / Fn+1. Portanto : LIM 
Gn+1/Gn = 1/H. Ora, claramente que H > 1 e, portanto : LIM  Gn+1/Gn = 1/H < 
1.

O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, implica que a serie  Gn : 1 + 1 + 1/2 + 1/3 + 
1/5 +  ... + 1/Fn + ...  é absolutamente convergente. Sendo seus termos 
todos positivos ... ELA E CONVERGENTE !


Agora, a pergunta mais dificil : CONVERGE PRA ONDE ? PRA QUE NUMERO ?


O fato de LIM Gn+1/Gn = 1/H, mostra que para &#8220;n&#8221; suficientemente 
grande, a sequencia :

Gn, Gn+1, Gn+2, ...

Se comporta como uma PG infinita com razão menor que um. A titulo de 
visualizacao, calculei G31/G30 = 0.6180355 ... e G30/G29 = 0.6180355 ... ( 
igualdade até a 6 casa apos o ponto decimal ! ).

Podemos dizer, pois, numa primeira aproximacao, que a sua serie pode ser 
somada como seque :

S=G1+G2+G3+...+Gk-1 + {PG infinita de primeiro termo Gk e razao 1/H}. isto e 
:
S=G1+G2+G3+...+Gk-1 +  Gk / ( 1 &#8211;  (1/H) ).
S= G1+G2+G3+...+Gk-1 + (H / ( H &#8211; 1) )*Gk

A ideia acima, expressa pelo colega Villard, encerra a essencia da questao. 
O nosso proposito e, evidentemente, expressar S em funcao de alguma coisa 
conhecida. Assim, definimos a funcao :

S(k)= G1 + G2 + G3 + ... + Gk-1 + (H / ( H &#8211; 1) )*Gk

Não adianta pensar em calcular o valor do limite quando K tende ao infinito, 
dado que isto implicaria em zerar Gk e, portanto, eliminar o fator constante 
(H / ( H &#8211; 1) ) e voltariamos a ter que enfrentar o problema cru e 
intratavel diretamente. Todavia, e certo que existe um MELHOR VALOR DE ( ou 
EM FUNCAO DE ) K. Como Determinar este valor ?

MINHA IDEIA

Este melhor valor e o torna a diferenca entre S(K) e S ao menos um MINIMO, 
senao zero. Na diferenca os termos significativos da serie irao desaparecer, 
o que tornara as coisas mais faceis.

Eu penso que daqui em diante as coisas ficam mais simples. Algum colega 
(talvez Villard ou Luis Lopes ou Duda ou Bruno ) pode querer completar as 
coisas e determinar K. E legal !

Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1532,18042001

>From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Parte inteira - insistente
>Date: Tue, 17 Apr 2001 12:26:29 -0300
>
>Sauda,c~oes,
>
>< .... eu queria uma resposta fechada, ou seja, saber se realmente a série 
>converge ( que é o meu palpite ! ), ....
>
>Testar a convergência de uma série é uma coisa, achar a forma fechada (se), 
>outra. Escrevi para o prof. Rousseau sobre este problema por achá-lo 
>interessante etc e tal. Mas acho que o tiro saiu pela culatra. Vejam nossa 
>correspondência.
>
>===
>Dear Luis:
>    Maybe the proposer had something in mind that I missed.
>I would certainly be interested if he had some sort of exact
>formula for the sum of the series.  What I did to evaluate
>\lfloor 50 * sum \rfloor was just based on expediency, so I
>am pretty sure that there is a more satisfactory approach.
>
>Cecil
>
>Luis Lopes wrote:
>
>Dear Cecil,
>
>Many thanks. I thought the problem didn't have to resort to this 
>(Maple,numerical comparison etc) because he insisted on it. I thought it 
>was a "standard" exam problem. Sorry, it is a little disappointing. I will 
>forward your answer to the list. I do hope to have a feedback from the 
>"author" regarding his expectations, origin of this problem etc. Happy to 
>talk to you. Cheers, Luis
>
>===
>
>Então foi isso. E aí, alguém teria um ataque (approach) mais satisfatório?
>
>[ ]'s
>Lu'is
>
>   De: Rodrigo Villard Milet
>   Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>   Enviada em: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 22:15
>   Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>
>
>   Bem, se quer saber a origem do problema, é a seguinte:
>   O Marcelo Souza, daki da lista me manda às vezes uns problemas e ele me 
>mandou, certa vez um que era pra ver se uma série lá convergia.... daí, eu 
>percebi que a gente pode criar várias séries que geram problemas muito 
>intererssantes e a primeira que me veio à cabeça foi essa ! hehehehe.... 
>nem sabia que nunca tinha sido feito... Da outra vez que ele apareceu na 
>lista tb fui eu que mandei... eu queria uma resposta fechada, ou seja, 
>saber se realmente a série converge ( que é o meu palpite ! ), pois 
>[(1-sqrt5)/2]^n tende a zero para n grande, logo a série se aproxima de uma 
>PG.... sei lá...
>   Abraços,
>       ¡ Villard !
>     -----Mensagem original-----
>     De: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
>     Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>     Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2001 19:29
>     Assunto: Re: Parte inteira - insistente
>
>
>     Sauda,c~oes,
>
>     Aí vai a resposta "completa" para o problema.
>
>     Sendo o que foi, qual o interesse do problema? Melhor dizendo,
>     você esperava uma resposta fechada? Qual a origem deste
>     problema? Também ficara curioso com ele e lembro-me que ele
>     aparecera há muito tempo na lista. E também não tivera nenhuma
>     idéia de como tratá-lo.
>
>     Mais uma vez temos que nos contentar com uma resposta numérica.
>
>     [ ]'s
>     Lu'is
>

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