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a) Pela Desigualdade entre as Médias Aritmética e
Geométrica:
x^2 + y^2 >= 2xy
x^2 + z^2 >= 2xz
y^2 + z^2 >= 2yz
Somando temos que x^2 + y^2 + z^2 >= xy +
yz + xz implicando que x^2 + y^2 + z^2 >=
1/3
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + xz + yz)
>= 1/3 + 2/3
x + y + z >= 1 com igualdade quando
x = y = z
Também poderíamos chegar ao mesmo resultado usando
a Desigualdade de Cauchy
Notemos agora que não existe um limite superior
para x + y + z, pois podemos fazer (por exemplo) x = y = 1/z.
Assim: xy + yz + xz = x^2 + 2
implicando que x^2 + 2 <= 3
implicando que 0 < x <= 1
Como z = 1/x temos que
z>= 1
Assim x + y + z >= z pode
assumir qualquer valor real, não possuindo x + y + z um limite
superior
Finalmente x + y + z >=
1
b) Pela
Desigualdade entre as Médias Aritmética e Geométrica:
xyz <= [(xy + xz + yz)^3]/27 <= 27/27=
1
Assim: xyz <= 1, com igualdade
quando x = y = z.
Como x, y e z são números reais positivos podemos
fazer com que algum deles se aproxime o quanto quizermos de zero.
Assim, como os outros valores vão ser todos
finitos, então a multiplicação xyz também vai ser aproximar de zero o quanto
quizermos.
Portanto temos que xyz > 0.
Finalmente 0 < xyz <= 1
Falou.
Marcelo Rufino
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