-----Mensagem Original-----
Enviada em: Quinta-feira, 12 de
Abril de 2001 14:32
Assunto: Re: Algoritmo de
equacao
Isto eh o metodo conhecido como de
Cardano (embora a ideia original nao seja dele), e publicado no
primeiro livro impresso de Algebra, a Ars Magna de Cardano (1545).
Veja o meu livro Resolucao de Equacoes Algebricas, Ed. da Univ.
Santa Ursula.
So alguns detalhes:
a) No passo 2, eh q, e nao
-q.
b) Nos passos 4 e 5, qundo voce diz
"encontramos raiz cubica", voce estah trabalhando nos
reais ou complexos? Se for nos complexos, seria necessario
esclarecer qual das 3 raizes cubicas se escolherah. Isto pode dar
problema no passo 6, e voce achar "raizes estranhas". Se
voce so aceitar trabalhar nos reais, nao conseguirah resolver
equacoes simples, que so tem raizes reais.
O melhor eh substituir os passos 3
a 6 por:
3) Encontre uma raiz y1 (real ou nao)
da equacao acima.
4) Encontre uma raiz cubica z de
y1 (isto eh, qualquer complexo z tal que z^3=y1)
5) Temos x1=z-p/(3z)
c) Os passos 7 a 10 estao corretos (uma
vez achado x1), mas as outras raizes poderiam ser achadas
diretamente. Chamando u = - p/(3z), e w=cis(2pi/3), temos: x2=
wz+w^2u; x3= w^2z+wu. (Observe que w^2=1/w = conjugado de
w)
d) Observe tambem que x1=z+u; x2=
wz+w^2u; x3= w^2z+wu. Esta "danca" de 1, w, w^2 (que sao
as raizes cubicas de 1) foram responsaveis, historicamente, pela
introducao do tema "permutacoes" na resolucao de equacoes
algebricas, e acabaram dando na Teoria de Galois (1830), que explica
quando uma equacao pode ser resolvida por uma "formula",
em termos das propriedades dos "grupos" de permutacoes das
suas raizes.
JP
----- Original Message -----
Sent: Thursday, April 12,
2001 11:55 AM
Subject: Algoritmo de
equacao
Por uma obra "do acaso",
"descobri" (sem saber q já existia) um
algoritmo que calcula as raízes de uma equacao do
tipo:
ax^3 + bx + c =
0
Chamamos tais raízes de x1, x2 e
x3
1) Dividimos a equacao por a : x^3
+ px + q = 0
2) Montamos uma nova equacao em y tal
que: y^2 - qy - (p^3)/27 =
0
3) Encontramos as raízes y1
e y2 da equacao acima
4) Encontramos raíz cúbica de
y1, chamando esta de k1
5) Encontramos raíz cúbica de
y2, chamando esta de k2
6) Temos: x1 = k1 +
k2
7) Dividimos (x^3 + px + q)/(x - x1),
encontrando: x^2 + (x1)x + p + (x1)^2
8) As raízes desta equacao sao x2 e
x3
9) x2 = (-x1 +
sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
10) x3 = (-x1 -
sqrt(-4p -3(x1)^2))/2
Posso ter vacilado em alguma conta, por favor
avisem...
[]'s
Alexandre
Terezan