Re: Problemas com 111...'s

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

3) Todos sao divisiveis por 11. Isso se pode ver pelo classico criterio
de divisibilidade por 11 ou com argumentos do tipo 111111 = 11 +11*10^2+
11*10^4.
2) 111111...1= 1+1*10+1*10^2+...+1*10^(n-1)= (10^n - 1)/9. Se n eh
composto, n=ab com a e b inteiros e diferentes de 1. 
10^(ab)-1 é divisivel por 10^a-1 (X), isto eh, 
10^(ab)-1 = (10^a-1)* P, P inteiro.
Portanto, 1111...1= P*[(10^a-1)/9].
Como (10^a-1)/9 eh inteiro(X), isso prova que 
1111...1 eh composto.
As passagens marcadas com X sao justificadas pela identidade x^n-1 =
(x-1)*[(x^(n-1))+...+x^2+x+1]


 Rubens wrote:
> 
> Prezados Amigos, solicito colaboração com os problemas abaixo:
>  
> 1) Demonstrar que nenhum inteiro da sequência:
>      11, 111, 1111, 11111, ...
>    é um quadrado perfeito.
>  
> 2) Mostrar que o inteiro  111...11  com n algarismos 1 é composto se n
> é composto.
>  
> 3) Mostrar que os os inteiros
>     1111, 111111, 11111111, ...., 1111...11, ...
>    cada um dos quais é formado por um número par de algarismos 1, são
> todos   compostos.
>  
> 4) Calcular a soma: 1 + 11 + 111 + ... + 111...1
>     onde a última parcela é formada de n algarismos 1.
>  
> Obrigado a todos.
> Rubens