Re: ime 2001

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Note que provar isso é o mesmo que provar que E = (k^5 - k)/10 é sempre
inteiro, correto ??
E = k(k^2+1)(k+1)(k-1)/10
E = (k-1)k(k+1)(k^2+1)/10
Como os possíveis restos na divisão por 5 são -2,-1,0,1 e 2, podemos dividir
nos seguintes casos :
(i) k = -1, 0 ou 1 mod5
Como (k-1), k e (k+1) são divisores de E, para este caso 5 divide E
(ii) k = +-2 mod5
Como k^2 + 1 divide E, para k = +-2 mod5, temos que 5 divide E.
Como foram esgotados todos os casos, temos que 5 divide (k^5 - k)/10.

 Abraços,
    ¡ Villard !
-----Mensagem original-----
De: Exercicio~® <dacnf@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 2 de Março de 2001 01:02
Assunto: ime 2001


>
>
> Olá pessoal!
>
> Essa questão foi do último vestibular do ime. Alguém poderia apresentar
>uma resolução formal para essa questão?
>
>
> ( IME - 2001 )
>
> Prove que para qualquer número inteiro K, os números K e K^5 terminam
>sempre com o mesmo algarismo ( algarismo das unidades).
>
> Eu faria assim:
>
>K =  R_n onde n varia de 0 a 9 e R é qq número inteiro.
>
>K =  R_0
>K^5 = R_0 × R_0 × R_0 × R_0 × R_0 = T_0, onde T é qq número inteiro
>
> K = R_1
> K^5 = R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1 ×R_1  = T_1, onde T é qq número inteiro.
>
> K = R_2
> K^5 = R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2 ×R_2  = T_2, onde T é qq número inteiro.
>.
>.
>.
>.
>.
>.
> K = R_9
> K^5 = R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 ×R_9 = T_9, onde T é qq número inteiro.
>
>
> Agora fica a minha dúvida: Se num problema de demostraçao, caso eu
>consiga expor para o examinador TODOS os casos existentes(desde q seja
>viável, como nesse problema) para tal demostraçao, eu preciso
>necessariamente utilizar variáveis literais?
>
> No caso, se eu estivesse fazendo essa prova, eu escreveria de R_0 até
>R_9, integralmente, ou seja, nao existiria as reticencias q eu coloquei
>entre R_2 e R_9 para poupar um pco + meu tempo......
>
> Obrigado.
>
>
> Falow's
>
> Exercicio~®
>
> http://members.nbci.com/exercicio
>         ICQ # 102856897
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