Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.

["Thomas de Rossi" <thomasderossi@xxxxxxxxxxx>]

Pessoal,

nem eu pensava ser tão complicado o calculo do tanque. Meus conhecimentos de 
cálculo não chegariam a tanto para resolver a equação. Gostaria de retificar 
os dados numericos fornecidos, se alguém tentar numericamente resolver.

a = 14500mm; r = 1750mm; R = 3142mm;

Gostaria de fazer mais alguns esclarecimentos, mas primeiro tenho de tirar 
algumas conclusões do cálculo numérico...

Muito obrigado pela ajuda.

Abraços,
Thomas.


>From: Ralph Costa Teixeira <ralph@visgraf.impa.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.
>Date: Thu, 01 Mar 2001 19:46:56 -0300
>
>
>	Oi todo mundo.
>
>	Voltando ao problema do tanque deitado, as noticias nao sao nada boas
>para o resto do problema. Acaba numa integral muito feia que eu creio
>soh poder ser feita mesmo numericamente.
>
>
>	I. O CILINDRO
>
>	Na ultima mensagem eu disse que, se o nivel do liquido eh h a partir do
>fundo de um cilindro de raio r e "comprimento" a (pois o cilindro estah
>deitado), entao o volume do liquido lah dentro eh:
>
>	V1 = a.r^2.  [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)]
>
>	onde eu uso m=h/r para facilitar as coisas. Seria legal marcar o zero
>da escala no centro do cilindro, isto eh, tomar h1 = h-r como variavel
>ao inves de h. Assim, se m=h1/r
>
>	V1 = a.r^2. [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos(m)]
>
>	Daqui por diante vou usar esta notacao, marcando h=0 no meio, e assim h
>vai de -r a r. Quem nao gostar, troque h por h+r de volta. :)
>
>
>	II. CADA UMA DAS CALOTAS
>
>	Uma secao *horizontal* da calota esferica aa altura z (z=0 eh o plano
>horizontal passando pelo centro da esfera) eh um segmento circular. Eu
>peguei uma destas secoes HORIZONTAIS e desenhei-a aqui vista de cima,
>preenchida com s's. O x marca o centro do circulo, R0 eh seu raio e d eh
>a distancia entre o centro e o segmento que delimita o segmento
>circular.
>
>      |\
>      |s\
>      |ss\
>   d  |sss|
>x----|sss|
>  \   |sss|
>   \  |ss/
>  R0\ |s/
>     \|/
>
>	Como a secao horizontal estah aa distancia |z| do centro da esfera,
>temos R0=sqrt(R^2-z^2).
>
>	Por outro lado, pode-se notar que d eh tambem a distancia do centro da
>ESFERA (que nao eh necessariamente x! O centro da esfera estah na secao
>horizontal z=0!) ao plano usado para corta-la em uma calota. Em outras
>palavras, d=sqrt(R^2-r^2).
>
>	Enfim, lembre-se que a area do segmento circular eh a area de um setor
>circular menos um triangulo escolhidos a dedo... A formula eh:
>
>	A = (R0)^2.arccos(d/R0) - d.sqrt(R0^2-d^2)
>
>	Substitua R0 e d:
>
>	A = (R^2-z^2).arccos(sqrt(R^2-r^2)/sqrt(R^2-z^2))
>             - sqrt(R^2-r^2).sqrt(r^2-z^2)
>
>	Agora voce teria que integrar isso de z=-r a z=h para achar o volume do
>liquido. A segunda parte da integral (a segunda linha da area) eh facil
>por substituicao, eh igual ao calculo feito para o cilindro. Tome de
>novo m=h/r e fique com:
>
>	V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m]
>
>	A primeira parte eh pior ainda. Use z=R.cost, r/R=p e h/R=q para obter:
>
>	V2 = R^3 INT(t = arccos(q)  a   t = Pi - arccos(p))
>          (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt
>
>	Ateh onde eu sei, esta integral nao pode ser resolvida analiticamente
>(o arccos(K/sint) me faz acreditar nisto), a menos eh claro que p=1 (o
>caso em que r=R, ou seja, em que as calotas sao de fato dois
>hemisferios).
>
>	Assim, a melhor opcao eh fazer um calculo numerico desta integral
>usando os seus dados a=14500, r=500 e R=3142... Note que V2 depende de q
>de maneira "simples". Ponha varios valores de q e faca uma tabela... :(
>
>
>	III. JUNTANDO TUDO
>
>	Em suma, pegue um computador e calcule as seguintes quantidades para
>cada h desejado de -r a r:
>
>	p=r/R; q=h/R; m=h/r=q/p;
>
>DENTRO DO CILINDRO:
>	V1 = a.r^2.[Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m]
>
>NAS CALOTAS:
>	2V2 = R^3 INT(t = arccos(q); t = Pi - arccos(p))
>          (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt
>
>	(Resolva numericamente para o valor p fixo que voce tem e usando
>diversos valores de q)
>
>	2V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m]
>
>
>	O volume que voce quer eh V1+2V2+2V3.
>
>	Eu sei que a resposta parece um pouco decepcionante, mas espero que
>tenha ajudado. As vezes eh mais facil fazer ao contrario: vah enchendo o
>tanque com volumes conhecidos e marcando os valores de h para cada um,
>montando assim a escala "experimentalmente"... Ou faca isso para um
>tanque igual mas menor em escala... :)
>
> > >              ---------------------
> > >            /                     \
> > >           /                       \
> > >          |                         |
> > >           \-----------------------/
> > >            \                     /
> > >             ---------------------
> > >
> > >
> > Nesse caso temos:
> > a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm;
> > em que, a = comprimento do cilindro (não considerar as calotas, e sim 
>apenas
> > o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota 
>até a

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