Re: =?x-user-defined?Q?Um_pouco_de_f=EDsica...?=

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 11 Jan 2001, Bruno Mintz wrote:

> Caros,
> 
> Na verdade, eu acho que esse é um problema de matemática, mas tem seu "fundo"
> físico. Como só começo minhas aulas em março (1o período de física) e nenhuma
> pessoa que consultei até agora me resolveu este problema, resolvi então
> apelar para a lista.
> 
> Ele fala de um corpo sendo largado de um ponto (vamos tomá-lo como o nosso
> "zero"), parado em relação à terra. O corpo sofre a ação de duas forças: seu
> peso (mg) e a resistência do ar, que o problema informa ser proporcional à
> velocidade do corpo (kv). Aplicando a segunda lei de Newton para esse
> movimento, vamos ter:
> 
> mg - kv = ma
> 
> Até aí, nenhum problema. A dúvida surge quando, a partir desta equação, a
> questão pede a velocidade do corpo em função do tempo. O problema foi tirado
> de um livro de física 1, ou seja, o aparato matemático necessário não deve
> ser tão complicado assim, mas parece estar "um pouco além"... por enquanto!
> Alguém me ajudaria a sair da ignorância?!

A resposta que eu vou dar usa matemática "um pouco além" da que se supõe
de um aluno de física 1, mas não sei dar outra muito mais simples.
A aceleração é a derivada da velocidade então sua equação pode ser
reescrita como

mg - kv = m dv/dt

o que, com um tremendo abuso pode ser reescrito como

dt = (m dv)/(mg - kv)

e integrando os dois lados temos

t + C = -m/k log(mg - kv)

para alguma constante C onde este log é na base e.
Manipulando algebricamente temos

v = (mg/k) - A exp(-kt/m)

para alguma constante positiva A. Como para t = 0 sabemos que v = 0 temos

v = (mg/k)(1 - exp(-kt/m))

Integrando podemos encontrar a posição:

s = (mg/k)(t + (m/k) (exp(-kt/m) - 1)) + s0



> P.S.: O livro do Ramalho (que usei no 2o grau) fala que a resistência do ar é
> proporcional ao QUADRADO da velocidade (R=kv^2). Tem alguma coisa errada, não
> tem???

Estas duas fórmulas para a resistência do ar são aproximações muito grosseiras.

[]s, N.