>Subject: limite do M.H.S.
>Date: Tue, 16 Jan 2001 23:21:46 -0300
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> Por um acaso poderiam me ajudar com um limite, matéria da qual ainda não estudei tudo? É o seguinte:
> No Movimento Hamônico Simples, a função horária de elongação é dada por:
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> x = A.cos(wt+f),
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> Consegui deduzir a função da velocidade usando trigonometria, mas sei que
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> v = lim Dx/Dt, quando Dt tende a zero,
> A pergunta é como calcular tal limite da função horária acima?
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> Daniel
Esse limite, de que voce se refere, é a derivada do deslocamento em função do tempo, que
é a velocidade. A derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação de uma função.
Calcular a derivada de uma função em um determinado ponto, chamemos x0, é calcular:
lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) quando x tende a x0
Isso nos dá a inclinação da reta tangente que passa por esse ponto. Em outras palavras, o quanto a função varia próximo a esse ponto. No caso de ser uma função de deslocamento em função do tempo, a derivada será a velocidade no instante x0.Calculando a derivada em função de x0, obtemos a velocidade em função do tempo, que é o que vc quer deduzir.
No caso, temos a função x(t)=Acos(wt+f). A velocidade será dada pela derivada:
v=lim(t tende a t0) (Acos(wt+f)-Acos(wt0+f))/(t-t0)
Podemos reescrever essa espressão substituindo t-t0 por Dt.
v=lim(Dt tende a 0) (Acos(wt0+f+wDt)-Acos(wt0+f))/Dt
Aplicando a regra do cosseno da soma e colocando A em evidência, temos:
v=lim(Dt tende a 0) A(cos(wt0+f)cos(wDt)-sen(wt0+f)sen(wDt)-cos(wt0+f))/Dt
Uma demonstração formal do valor desse limite é um pouco complicado. O fato é que, pode-se demonstrar que lim(x tende a 0) (sen(x)/x)=1. Isto pode ser provado usando geometria, mostrando que a medida de um arco se aproxima de seu seno (em radianos) quando é muito pequena. A partir desse limite fundamental e de um pouco de trabalho algébrico, prova-se que:
v=-wAsen(wt0+f)
Utilizando alguns resultados já conhecidos de derivadas, chega-se a esse resultado mais facilmente. São eles:
1) Derivada de cos(x) é -sen(x)
2) Derivada de kf(x) é k vezes derivada de f(x)
3) Derivada da soma é a soma das derivadas
4) Derivada de f(x)=x^n é nx^(n-1)
5) Regra da Cadeia: Derivada de f(g(x)) é a derivada de f(x) calculada em g(x) vezes a derivada de g(x).
Dessas regras você deduz facilmente a expressão da velocidade como sendo derivada do deslocamento e a aceleração como sendo derivada da velocidade. Isso é só uma amostra da utilidade do Cálculo Diferencial e Integral.
Uma demonstração mais formal disso você acha em qualquer livro de Cálculo.
Rogério
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