Re: Pode-se ordenar um conjunto numeroso?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 21 Dec 2000, Jorge Peixoto Morais wrote:

> Um conjunto de alta cardinalidade, como 2^(cardinalidade de R), pode ser 
> ordenado (como R, apesar de que C tem a mesma cardinalidade e nao pode)? 
> Existe algum conjunto nessas condicoes?

Segue do Axioma da Escolha (um dos axiomas da teoria dos conjuntos
que podemos chamar de ortodoxa) que todo conjunto admite uma ordem
total; admite até uma *boa ordem*, isto é, uma ordem total
na qual todo subconjunto não vazio tem mínimo.

O conjunto C dos números complexos pode ser facilmente ordenado:
podemos decretar, por exemplo, que
(a1 + b1 i < a2 + b2 i) sse (a1 < a2 ou (a1 = a2 e b1 < b2))
Os parentesis acima são usados no sentido matemático para dizer que o 'e'
deve ser feito antes do 'ou'.
O problema é que esta ordem não é muito interessante pois não é muito
compatível com a estrutura algébrica usual de C.
Por isso dizemos que 'não existe ordem em C';
mais completo seria dizer 'não existe uma ordem natural e interessante
e em algum sentido compatível com a estrutura algébrica em C;
existem muitas ordens artificiais e desinteressantes'.

Não é possível demostrar a existência de uma ordem total no conjunto
das partes de R sem usar pelo menos uma versão fraca do axioma da escolha.

> A uniao e o produto cartesiano de uma familia enumeravel de conjuntos cuja 
> cardinalidade eh a de R teem que cardinalidade?

A mesma que a de R.
O conjunto de todas as funções contínuas de R em R também tem o mesmo
cardinal que R.

> E se, em vez de uma familia 
> enumeravel, tem-se (por exemplo) uma bijecao entre cada conjunto e o 
> conjunto dos reais?

Acho que você está perguntando sobre a cardinalidade do conjunto
de todas as funções de R em R: é a mesma que do conjunto das partes
de R.

Leia 'Naive set theory' de Halmos. Existe tradução.

[]s, N.