Re: Ajudem-me com este polinomio.

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

O raciocinio estah perfeito, mas houve um erro de conta no delta, que eh:
4(2-a).

-----Mensagem original-----
De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 4 de Dezembro de 2000 00:12
Assunto: Re: Ajudem-me com este polinomio.


>Vemos que 1 e -1 são raízes de p(x). Daí, este é divisível por (x^2-1).
>Fazendo a divisão pelo algoritmo da divisão, temos o seguite quociente :
> x^4 + 2x^3 + (a+1)x^2 + 2x + 1
>Para acharmos suas raízes, devemos igualá-lo a zero, o q nos dá uma equação
>recíproca !! ..... x^2 [ (x^2 +1/x^2) + 2(x + 1/x) + a + 1 ] = 0
>...........
>.... fazendo x+1/x = t , temos x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2, daí a equação se
>transforma em ...
> x^2 ( t^2 -2t + a - 1 ) = 0
>Como queremos raízes reais, o delta de t^2 - 2t +a + 1 = 0 deve ser maior
ou
>igual a zero..... delta = 4 - 4(a+1) = - 4a. Daí, temos a=<0 (I)
> As raízes são t = 1 +- sqrt(-a)
>E, t = x + 1/x.....
> (i) x + 1/x = 1 + sqrt(-a)
>        x^2 - (1 + sqrt(-a) )x +1 = 0..... delta >= 0.... 1 - a +
>2sqrt(-a) - 4 >= 0, ................. 2sqrt(-a) >= 3 + a. Para -3 =< a =<
0,
>temos -4a >= 9 + 6a + a^2... a^2+10a+9=<0 .......  -9=< a =< -1, o que
>resulta em -3 =< a =< -1 (II)   ...................     Para a =< - 3,
temos
>a^2 + 10a + 9 >= 0, o que nos dá apenas dois intervalos a =< -9 e a >= -1,
q
>resulta em a =< -9 (III) !!!!
>
>(ii) x +1/x = 1 - sqrt(-a)
>        x^2 - ( 1- sqrt(-a) )x +1 = 0..... delta >= zero, daí, temos : 1 -
2
>sqrt(-a) -a -4>=0 ...   2sqrt(-a) =< -a -3, o q é absurdo, pois sqrt(-a) >=
>0
>
>Daí, unindo (I), (II) e (III) , temos a =< -9 ou -3=< a =<0.
>Se não me engano, esta questão caiu no ITA em 97/98, e ñ sei se tinha essa
>opção. Devo ter errado alguma conta.... confiram !
>
>   Abraços,
>      ¡Villard !
>
>
>
>-----Mensagem original-----
>De: Fabricio Damasceno <fdamas@mailbr.com.br>
>Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Data: Domingo, 3 de Dezembro de 2000 21:05
>Assunto: Ajudem-me com este polinomio.
>
>
>> Seja "a" um numero real tal que o polinomio
>>p(x)= x^6 + 2x^5 + ax^4 - ax^2 - 2x -1 admite apenas raizes reais. Qual
>>o intervalo real ao qual "a" pertence?
>>MailBR - O e-mail do Brasil -- http://www.mailbr.com.br
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>>
>
>