Re: Ajudem-me com este polinomio.

["Rodrigo Villard Milet" <villard@xxxxxxxxxxxx>]

Vemos que 1 e -1 são raízes de p(x). Daí, este é divisível por (x^2-1).
Fazendo a divisão pelo algoritmo da divisão, temos o seguite quociente :
 x^4 + 2x^3 + (a+1)x^2 + 2x + 1
Para acharmos suas raízes, devemos igualá-lo a zero, o q nos dá uma equação
recíproca !! ..... x^2 [ (x^2 +1/x^2) + 2(x + 1/x) + a + 1 ] = 0
...........
.... fazendo x+1/x = t , temos x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2, daí a equação se
transforma em ...
 x^2 ( t^2 -2t + a - 1 ) = 0
Como queremos raízes reais, o delta de t^2 - 2t +a + 1 = 0 deve ser maior ou
igual a zero..... delta = 4 - 4(a+1) = - 4a. Daí, temos a=<0 (I)
 As raízes são t = 1 +- sqrt(-a)
E, t = x + 1/x.....
 (i) x + 1/x = 1 + sqrt(-a)
        x^2 - (1 + sqrt(-a) )x +1 = 0..... delta >= 0.... 1 - a +
2sqrt(-a) - 4 >= 0, ................. 2sqrt(-a) >= 3 + a. Para -3 =< a =< 0,
temos -4a >= 9 + 6a + a^2... a^2+10a+9=<0 .......  -9=< a =< -1, o que
resulta em -3 =< a =< -1 (II)   ...................     Para a =< - 3, temos
a^2 + 10a + 9 >= 0, o que nos dá apenas dois intervalos a =< -9 e a >= -1, q
resulta em a =< -9 (III) !!!!

(ii) x +1/x = 1 - sqrt(-a)
        x^2 - ( 1- sqrt(-a) )x +1 = 0..... delta >= zero, daí, temos : 1 - 2
sqrt(-a) -a -4>=0 ...   2sqrt(-a) =< -a -3, o q é absurdo, pois sqrt(-a) >=
0

Daí, unindo (I), (II) e (III) , temos a =< -9 ou -3=< a =<0.
Se não me engano, esta questão caiu no ITA em 97/98, e ñ sei se tinha essa
opção. Devo ter errado alguma conta.... confiram !

   Abraços,
      ¡Villard !



-----Mensagem original-----
De: Fabricio Damasceno <fdamas@mailbr.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 3 de Dezembro de 2000 21:05
Assunto: Ajudem-me com este polinomio.


> Seja "a" um numero real tal que o polinomio
>p(x)= x^6 + 2x^5 + ax^4 - ax^2 - 2x -1 admite apenas raizes reais. Qual
>o intervalo real ao qual "a" pertence?
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