Re: questão

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Boa, Marcelo!
Interpretando geometricamnte este problema, note que isto prova que se
unirmos o complexo a_0=1 (ou seja, o ponto (1;0)) a cada um dos outros n-1
vertices a_k do poligono regular de n lados formado pelas n raizes n-esimas
de 1, o produto complexo dos vetores a_k a_0 eh igual a n. Em particular,
seu modulo eh n, o que permite concluir queo produto destes comprimentos eh
n (verifique para triangulo equilatero e quadrado). Este ultimo ponto foi um
problema da primeira Olimpiada Internacional, no sec. XIX, na Romenia (ou
foi Hungria?).



-----Mensagem original-----
De: Sistema ELITE de Ensino - Unidade Belém <titular@nautilus.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 17 de Novembro de 2000 18:13
Assunto: Re: questão


>Seja o Polinômio P(x) = x^5 - 1
>As 5 raízes de P(x) são as 5 raízes quintas da unidade (ou as 5 raízes de
>ordem 5 da unidade), que são 1, z, z^2, z^3, z^4, onde z é o número
complexo
>z = cos (2.pi/5) + i.sen (2.pi/5)
>Como todo polinômio, P(x) pode ser desenvolvido em função de suas raízes:
>P(x) = (x - 1)(x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4).
>Calculemos agora Q(x), que é o polinômio que satisfaz  P(x) = (x - 1)Q(x)
>Como  x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), temos que  Q(x) = x^4 +
>x^3 + x^2 + x + 1 = (x - z)(x - z^2)(x - z^3)(x - z^4).
>Vale ressaltar que até aqui na questão z é o número complexo z = cos
>(2.pi/5) + i.sen (2.pi/5), e no enuncaido w é qualquer uma das 4 raízes
>complexas de P(x) (z, z^2, z^3, z^4), entretanto como z^5 = 1, a seqüência
>z, z^2, z^3, z^4 é igual (a menos da ordem) a seqüência w, w^2, w^3, w^4.
>Por exemplo, faça w = z^3. Teremos então:
>w = z^3, w^2 = z^6 = z, w^3 = z^9 = z^4, w^4 = z^12 = z^2.
>Assim, (1 - w)(1 - w^2)(1 - w^3)(1 - w^4) = (1 - z)(1 - z^2)(1 - z^3)(1 -
>z^4) = Q(1) = 5
>
>Notemos também que é possível fazer uma generalização, que a propósito ja
>até caiu em um vestibular antigo do IME, que é a seguinte: Se x^n = 1 (x
>diferente de 1 e n um inteiro positivo), prove que  (1 - x)(1 - x^2)(1 -
>x^3)...(1 - x^(n - 1)) = n.
>A idéia de resolução é análoga a acima apresentada.
>
>Marcelo Rufino
>
>----- Original Message -----
>From: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Friday, November 17, 2000 1:49 PM
>Subject: questão
>
>
>> Olá pessoal,
>> Alguém poderia me ajudar com a seguinte questão?
>> - temos que w^5 = 1, sendo w diferente de 1, calcule (1 - w)(1 - w^2)(1-
>> w^3)(1 - w^4).
>> valeu
>> abraços
>> marcelo
>>
>> _________________________________________________________________________
>> Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
>>
>> Share information about yourself, create your own public profile at
>> http://profiles.msn.com.
>>
>
>