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Sent: Friday, November 17, 2000 9:47
PM
Subject: Questões de Trigonometria
Será que vcs poderiam resolver essas
questões????
(Unicamp-SP) Determine a, 0 =< a < 2pi, de modo que a
desigualdade x^2 -2x>1/Sen a seja satisfeita por todo x, x E
R.
(Mackenzie-SP) Se 0 =< a =< pi e, para todo x real,
tem-se que x^2 + x + tg a >3/4, então :
a) 0< a < pi/4
b) pi/4< a < pi/2
c) pi/2< a < 3pi/4
d) a=3pi/4
e) nao existe a nessas condições
(ITA-SP) Suponha x e y números reais, tais que tg(x-y) =
sqrt3 e tgx*tgy = 1. Calcule o módulo de S = tgx + tgy.
Essa é a mais importante: qual o valor máximo de SenX + CosX
?
Caro Hugo,
Em relação à questão que pergunta sobre o
valor máximo de sen x + cos x , parece se tratar de uma questão para
vestibular (já alguma parecida com ela só que perguntava o valor máximo de f
(x) = 3 cos x + 2 sen x , caiu na fuvest).
A questão poderá ser resolvida por derivadas
(especificamente máximos e mínimos). Mas como não conheço seu nível de
conhecimento tentarei dar uma explicação que envolve puramente a
trigonometria.
Vamos lá então.
A expressão dada é 1 sen x + 1 cos x que
irei chamar de f (x).
Com os coeficientes 1 (de sen x) e 1 (de cos x)
podemos formar um triângulo retângulo de catetos 1 e 1 e ângulo alfa (que no
caso será 45, mas isso não importa). Pelo teorema de Pitágoras, obtemos a
medida da hipotenusa que será de sqrt(2) (raiz quadrada de dois).
Assim, sen (alfa) = cos (alfa) =
1/sqrt(2).
Portanto, f(x) = 1 sen x + 1 cos x pode ser
escrita como f(x) = sqrt(2).((1/sqrt(2)).senx + (1/sqrt(2)).cosx) (observe que
se você aplicar a propriedade distributiva tem-se a mesma expressão de
antes).
Ou ainda podemos escrever f (x) = sqrt(2)
(sen(alfa).senx + cos(alfa).cosx) = sqrt(2). cos(alfa - x) (é só aplicar
a fórmula do co-seno da diferença de arco só que de modo
reverso).
Como o valor máximo de cos(alfa - x) é 1, obtemos
sqrt(2) . 1 = sqrt(2).