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Resolvendo as questoes 1 e 2 ,ou tentando :-) ...
1) Sejam:
a = percentagem de entrevistados que consomem A, mas nao consomem nem B nem
C
b = percentagem de entrevistados que consomem B, mas nao consomem
nem A nem C
c = percentagem de entrevistados que consomem C, mas nao consomem
nem A nem B
m = percentagem de entrevistados que consomem A e B, mas nao consomem
C
n = percentagem de entrevistados que consomem B e C, mas nao
consomem A
p = percentagem de entrevistados que consomem A e C, mas nao consomem
B
x = percentagem de entrevistados que consomem A, B e C
A percentagem de entrevistados que consomem algo é 85%, logo:
a + b + c + m + n + p + x = 85 (I)
Por outro lado, se tomarmos que 32% não consomem A, 44% não consomem B e
34% não consomem C, temos:
b + c + n + 15 = 32 (32% não consomem A)
a + b + m + 15 = 34 (34% não consomem C)
a + c + p + 15 = 44 (44% não consomem B)
Somando as três equacoes, temos:
2a + 2b + 2c + m + n + p = 65 (II)
Fazendo (I - II), vem:
x - (a + b + c) = 20, ou:
x = 20 + (a+b+c)
x será mínimo quando (a+b+c) = 0, ou seja, em tal caso, x = 20%
Basta verificar se é possível que haja a = b = c = (a+b+c) = 0
Isso é possível, resultando em m = 29%, n = 27% e p = 39%
Logo, a porcentagem mínima de entrevistados que consomem A, B e C é
de 20%.
2) Resposta: d.
a) Pelo princípio de Dirichlet, vemos q essa
afirmaçao é verdadeira (15 > 1 x 12) .
b) Pelo princípio de Dirichlet, vemos q essa
afirmaçao também é verdadeira ( 15 > 2 x 7).
e) Sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O)
Imagine que a idade da pessoa A seja igual a 14a + a', a idade da
pessoa B seja igual a 14b + b' e assim sucessivamente, até que a idade da pessoa
O seja igual a 14o + o'. Todo Y' deve obedecer 0 <= y' <= 13
Ora, há 14 y' possíveis e 15 pessoas. Logo, há pelo menos duas pessoas q
possuam o mesmo y'.
Sem perda de generalidade, seja a' = b'.
A diferenca de idade de A e B será: 14a + a' - 14b - b' =14a - 14b + a' -
a' = 14 (a - b) , q é um múltiplo de 14.
Logo, esta afirmativa também é verdadeira.
c) Seja y o número de pessoas q a pessoa Y
conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O).
Sem perda de generalidade, seja a = 14, pelo enunciado.
Ora, nenhuma das outras pessoas pode conhecer ZERO pessoas, visto q A
conhece todas (reciprocidade mencionada).
Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Isto
torna a afirmativa c verdadeira.
Caso ii) Nenhuma das outras pessoas (q nao A) conhece 14 pessoas. Assim, há
13 "y" possíveis (1 <= y <= 13) para 14 pessoas, o q faz com q pelo menos
2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas.
Logo, a afirmativa c é verdadeira.
d) Seja y o número de pessoas q a
pessoa Y conhece, e sejam as pessoas (A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O).
Sem perda de generalidade, seja a = 0 (pelo enunciado)
Neste caso, visto q A nao conhece nenhuma pessoa, nenhuma das outras
pessoas pode conhecer 14 pessoas (reciprocidade mencionada).
Caso i) Alguma das outras pessoas (q nao A) conhece ZERO pessoas. Isto
torna a afirmativa d falsa.
Caso ii) Cada uma das outras pessoas (q nao A) conhece mais de uma
pessoa.
Assim, há 13 "y"s possíveis (1<= y <= 13) para 14 pessoas, o q faz
com q pelo menos 2 pessoas conhecam o mesmo número de pessoas.
Isto torna a afirmativa d FALSA.
UFA, espero ter ajudado.
[]'s , Alexandre Terezan.
----- Original Message -----
From: "Augusto Morgado" <morgado@centroin.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Quarta-feira, 15 de Novembro de 2000 09:12
Subject: Re: Duas questõezinhas!!!
UERJ e nao houve 50 candidatos que conseguissem resolve-la. Via Lux wrote: > > Olá pessoal, > > Aí vão duas questões que deixam muitos alunos confusos... > > E vcs que dizem? > > 1) Numa pesquisa sobre o consumo dos produtos A, B e C, obteve-se o seguinte > resultado: 68% dos entrevistados consomem A, 56% consomem B, 66% consomem C > e 15% não consomem nenhum dos produtos. Qual a porcentagem mínima de > entrevistados que consomem A,B e C? > > 2) Considerando que em uma festa há 15 pessoas, não podemos afirmar que: > > a)pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano. > > b)pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana > > c)se uma das pessoas conhece as demais então existem pelo menos duas com o > mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) > > d)se uma pessoa não conhece ninguém então pode não existirem duas pessoas > com o mesmo número de conhecidos (o conhecer alguém é recíproco) > > e) a diferença de idade "em anos" de duas delasé um múltiplo de 14 > > Lembranças a todos, > > Fui! > > Luciano M. Filho |