Re: Polinômios

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Seja $p(x)$ um polin^omio em $x$ de grau $n$. Mostra-se que
(em livros de C'alculo Num'erico, por exemplo) podemos escrever
$p(x)$ como

$$p(x) = p(1) + \Delta p(1)  {x-1\choose 1} + \Delta^2 p(1)  {x-1\choose 2}
+ \cdots +
\Delta^n p(1)  {x-1\choose n},$$

onde  ${x-1\choose n} = [(x-1)(x-2)\ldots(x-n)]/n!$.

De posse deste resultado, podemos resolver facilmente dois problemas que
apareceram
recentemente na lista:

i) Sabendo que $p(x)$ é de quinto grau, $p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=1$ e
$p(6)=0$, calcule $p(0)$.

$$p(x) &= p(1) + \Delta^5 p(1) {x-1\choose 5}
pois $\Delta p(1)=\Delta^2 p(1)=\Delta^3 p(1)=\Delta^4 p(1)=0$. Como
$\Delta^5 p(1) = -1$, vem:
    p(x) &= 1 - {x-1\choose 5}
e
    p(0) &= 1 - (-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/5! = 2.$$

ii) calcule $S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$.

$S_n$ 'e um polin^omio de grau 3. Ent~ao,

$$S_n &= a_1 + \Delta a_1 {n-1\choose 1} + \Delta^2 a_1 {n-1\choose 2} +
\Delta^3 a_1 {n-1\choose 3}

Como $a_1=1$, $\Delta a_1=4$, $\Delta^2 a_1=5$ e $\Delta^3 a_1=2$, resulta:

  S_n &= 1 + 4(n-1) + 5(n-1)(n-2)/2 + 2(n-1)(n-2)(n-3)/6

E com alguns c'alculos simples,

  S_n &= n(n+1)(2n+1)/6.$$

Voc^e agora poderia calcular $S_n = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$. Dica: $S_n$
'e de grau 4.

Obs.: esta j'a 'e uma boa sa'ida para calcular tais somas. Melhor ainda 'e
usar o conceito de
antidiferen,cas.

Temos o seguinte resultado: se $F(i)$ 'e uma antidiferen,ca de $f(i)$,
ent~ao

$$f(1) + f(2) + \cdots + f(n) = F(n+1) - F(1).$$

Assim, se $f(i) = i^2 = i + i(i-1)$, ent~ao $F(i) = [i(i-1)/2] +
i(i-1)(i-2)/3$ e

$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = F(n+1) - F(1) = F(n+1) = n(n+1)(2n+1)/6.$$

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: Antonio Neto <osneto@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Terça-feira, 7 de Novembro de 2000 10:46
Assunto: Re: Polinômios


Dos dados, 1, 2, 3, 4 e 5 sao raizes de P(x) - 1. Logo,
P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 1, e vc determina o valor de a usando
P(6). Desculpe nao fazer as contas agora, estou no intervalo de aula. Espero
ter sido claro, mas se quiser escreva de novo. Abracos, olavo.


>From: "João Paulo Paterniani da Silva" <jopatern@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Polinômios
>Date: Mon, 06 Nov 2000 14:07:21 EDT
>
>
>    Olá! Alguém poderia me ahudar nesse problema de Polinômio?
>
>   Sabendo que P(x) é de quinto grau.
>   I- P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=1
>   II- P(6)=0
>   III- Calcule P(0)
>
>João Paulo Paterniani da Silva
>
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