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Re: Uma ajuda, por Favor !
Ola Alexandre,
Obrigado pelas suas palavras elogiosas !
Eu vejo varias maneiras de resolver este problema. Acho
mesmo que ele ja apareceu na lista ... Ao inves de resolver
vou indicar duas linhas de raciocinio pra voce seguir e ter
a alegria de encontrar a solucao.
Sejam a,b,c,d inteiros positivos quaisquer e
P=(b-a)*(c-b)*(c-a)*(d-c)*(d-b)*(d-a)
Como a diferenca entre dois numeros quaisquer e um fator de
P entao, claramente, se quaisquer dois numeros forem iguais
o produto sera zero e, portanto, divisivel por 12. O que
interessa, consequentemente, e considerar o caso no qual
dois numeros quaisquer sao distintos ...
Sem perda de generalidade podemos por : a < b < c < d.
1 LINHA DE RACIOCINIO :
A) Mostre que o Produto P e divisivel por 4 porque ele tem,
ao menos, dois fatores pares. Voce pode fazer isso
considerando que as possiveis paridades dos numeros e
notando que :
PAR - PAR = PAR
IMPAR - IMPAR = PAR
uma outra forma seria por reducao ao absurdo. Notando que :
c - a = (c-b) + (b-a)
supor que todos os fatores ( diferencas ) sao impares levara
a uma contradicao e lhe permitira provar que no produto ha,
ao menos, dois fatores ( diferencas ) pares.
B) Mostre que o Produto P e divisivel por 3 considerando que
alguns deles sao iguais a soma de outros ... exemplo :
c - a = (c-b) + (b-a)
Se (c-b) e congruo a 2 (modulo 3) e se (b-a) e congruo a 1
(modulo 3 ) entao (c-a) e multiplo de 3. Raciocinado assim
voce vai chegar facilmente a demonstracao
C) Dado que o Produto e necessariamente divisivel por 4 e
por 3 entao ele e divisivel por 12
2 LINHA DE RACIOCINIO
Esta linha talvez seja mais a seu gosto, pois nao usa
congruencias. Note que o produto em questao e o determinande
de uma matriz de Vandermonde, tambem chamada de Matriz das
potencias. Claramente que P e o determinante da matriz :
linha 1 : 1,1,1,1
linha 2 : a,b,c,d
linha 3 : a^2,b^2,c^2,d^2
linha 4 : a^3,b^3,c^3,d^3
Agora, notando que (a+1)^3=a^3 + 3*a^2 + 3*a + 1, fica
facil, usando as tradicionais propriedades dos
determinantes, mostrar que ele e multiplo de 12.
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1650,06112000
Em tempo : escrevendo o e-mail me ocorreu uma terceira
ideia, mais simples ainda que a 2 linha de raciocinio. Se
voce indexar as primeiras diferencas, tal como (b-a)=X,
(c-b)=Y, ...
todas as demais podem ser expressas em funcaos destes
parametros. O polinomio Produto resultando e claramente
divisivel por 12 !
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