Re: Corpos, Anéis e "equação"

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, 31 Oct 2000, Jorge Peixoto  Morais wrote:

> Deixe eu ver se entendi essa Álgebra do Nicolau (O Grande): *Corpo: um
> conjunto numérico que satisfaz aqueles postulados dos números reais (i.e: x+y
> é real se x e y são reais, x+(y+z)=(x+y)+z, etc) *Anel: um conjunto numérico
> que satisfaz alguns desses postulados, mas não todos.  Ps1: Que significa um
> anel ser "fechado" em divisão?  Ps2: Em um livro, encontrei escrito:é
> postulado de corpo que todo número tem um inverso. Mas então um sistema
> completo de resíduos módulo k nunca é um corpo ? I.e., se k=10, não há x,y
> inteiros tal que xy= 1 (mod 10)

Ingredientes básicos para um anel com unidade:

Um conjunto A, um elemento especial de A chamado 0, outro chamado 1,
duas operações diádicas e uma unária:
 + : A x A -> A
 * : A x A -> A
 - : A -> A

Axiomas de anel com unidade:

( x + y ) + z = x + ( y + z )
0 + x = x + 0 = x
x + (-x) = (-x) + x = 0
x + y = y + x
x * ( y + z ) = ( x * y ) + ( x * z )
( y + z ) * x = ( y * x ) + ( z * x )
( x * y ) * z = x * ( y * z )
1 * x = x * 1 = x

Exemplos de Anel:

O conjunto dos inteiros Z com as operações usuais
O conjunto das matrizes reais nxn (n fixo)
Z/(n) = {0, 1, 2, ..., n-1}, com operações módulo n

Não são anéis:

O conjunto dos naturais (não podemos fazer -n)
R^3 com o produto vetorial (não é associativo)

Um anel com unidade é comutativo se x*y = y*x.
Um anel comutativo com unidade é um domínio se x*y = 0
implicar x = 0 ou y = 0.
Um domínio é um corpo se para todo x != 0 existir y com x*y = 1
(onde a != b significa a diferente de b).
Um anel com unidade é chamado corpo não comutativo, quase corpo
ou anel de divisão se para todo x != 0 existir y com x*y = y*x = 1.

Z/(n) é um corpo se e somente se n é primo.
Por exemplo, se n = 5 temos 1*1 = 2*3 = 3*2 = 4*4 = 1.

> Ps3:Quando vi 2^x=2x, me lembrei de uma muito
> mais difícil: X^X=3. Não pensem que é só tirar log! Tentem fazer isso e verão
> do que eu estou falando...
>