Re: Alguém pode dar uma explicação em algumas dúvidas?

["José Paulo Carneiro" <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

O teorema de Euler supoe que a seja relativamente primo com n.
Uma maneira que acho interessante (nao sei se eh esta que estah na Eureka)
eh a seguinte: Considere U_n = {b_1, ..., b_k} = conjunto dos naturais entre
1 e n que sao primos com n. Por definicao de phi: k=phi(n). Considere os
numeros
a*b_1, ..., a*b_k e ache os seus restos de divisao por n (chamemos esses de
r_1, ..., r_k). Afirmo que todos os r_i sao diferentes, pois se, por
exemplo, a*b_1 e a*b_2 deixassem o mesmo resto por n, eles seriam congruos
mod n, e entao n seria um divisor de a*(b_1-b_2). Mas como a eh primo com n,
isto obrigaria n a dividir b_1-b_2, ou sejam b_1 e b_2 seriam congruos mod
n. Masisto eh imposssivel, pois os restos desses por n sao eles mesmos, e
eles sao diferentes.
Nao eh dificil ver que os r_i tambem sao primos com n (um fator comum a r_i
e n seria divisor de b_i).
Mas entao os r_i sao exatamente os b_i (possivelmente em outra ordem).
Agora, o produto dos a*b_i (que eh a^k vezes o produto dos b_i)  eh congruo
do produto dos r_i. Simplificando o produto dos r_i (que eh o mesmo dos
b_i), chega-se a: a^k congruo de 1 c.q.d.
Veja se os detalhes estao OK.
JP



-----Mensagem original-----
De: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quarta-feira, 18 de Outubro de 2000 23:06
Assunto: Alguém pode dar uma explicação em algumas dúvidas?


>Dúvidas sobre física e matemática.
>
>1) Como se prova matematicamente a existência dos orbitais, aprendemos no
>colégio de uma forma direta e "confusa", pois não sabemos de onde aparece
os
>formatos etc.
>
>2)Como posso provar fi de Euler: a^[fi(n)] == 1 (mod n)? Eu vi a prova no
>Eureka 2, porém não a entendi por completo, pois há algumas transformações
>que me pareceram "mágicas". :)
>
>3) Problema:
>
>Prove que dado n pertence N existe um conjunto de n  elementos   A está
>contido em N tal que para todo B está contido em A, B diferente de vazio, a
>somatória de x talque x pertence a B é uma potência não trivial (isto é, um
>número da forma m^k, onde m, k  são inteiros maiores ou iguais a 2), ou
>seja, A = {x_1, x_2,. x_n} tal que x_1, x_2,.x_n, x_1 + x_2, x_1 +x_3,., ,
>.,x_1 + x_2 +.x_n  são todos potências não triviais.
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