Re: Sobre as funções trigonométricas de números complexos

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> Jorge Peixoto Morais wrote:
> 
> Eu estava procurando uma maneira de definir  funcoes trigonometricas
> de numeros complexos, e lembrei a formula de Euler (exp(ix)= cos(x) +
> i*sen(x)). Sera que entao
> cos(i) + i*sen(i)= exp(i*i)=exp(-1)= 1/e ? Eu ficaria feliz so por
> conseguir a resposta dessa ultima pergunta. Mas, se tambem der para
> explicar mais sobre seno e cosseno de numeros complexos, melhor.
> 
> PS: A*B denota "A vezes B".

	Sim, é comum definir

	cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2
	sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/2i

	para números complexos quaisquer. Não é difícil ver que o cos e o sin
de números reais é igualzinho aos já conhece (bom, pelo menos se você
partir da fórmula do e^(ix) que você mencionou)...
	Note que algumas propriedades comum entre os reais se mantêm
verdadeiras com essa definição... Tente ver que cos(z)=cos(-z),
sin(z)=-sin(-z) e que (cosz)^2+(sinz)^2=1; também mostre que
cos(z+2Pi)=cos(z); sin(z+2Pi)=sin(z); cos(Pi/2-z)=sin(z); etc etc.
Note que NÃO vale que |cosz|<1 nem que |sinz|<1 em geral. Para o seu
caso, z=i, temos:

	cos(i) = (e^(-1)+e^(1)) / 2 = (e+1/e)/2

	Em geral,
	cos(bi) = (e^(-b)+e^b)/2 = cosh(b)
	sin(bi) = (e^(-b)-e^b)/2i = i sinh(b)

	E assim
	cos(a+bi) = cos(a)cos(bi)-sin(a)sin(bi) =
	= cos(a)cosh(b)-sin(a)sinh(b) i

	podia ser a definição a partir de z=a+bi com a e b reais (dá no mesmo).
	
	Abraço,
		Ralph