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Brachistócrona e "log(#IR)=#N?"



Há pouco tempo alguém disse que a curva brachistócrona é a curva que minimiza o tempo para um ponto chegar a certa posição; eu já tinha ouvido falar nisso, mas não entendi. QUe negocio eh esse? E, finalmente, estão definidas certas funções para números cardinais (acho que esse eh o nome de números como a cardinalidade dos reais)? Por exemplo, se 2^(#IN)= #IR, log2 (#IR)=#N? Há coisas como (#IR)²?