Re: a parabola eh legal

["Bruno Woltzenlogel Paleo" <bwp@xxxxxxxxxxxx>]

> Se for, alguém consegue calcular que tipo de curva (ao invés de uma
> parábola) faria o tempo até o vertice não ser uma função da posição que
você
> soltou a bola..... ?????

A curva que tem  essa propriedade é a cicloide e, por isso, ela também é
conhecida como tautócrona.
Para construir uma cicloide, pegue uma reta e uma circunferencia tangente a
essa reta. Anote um ponto na circunferencia e faça a circunferencia "rolar
sem deslisar" sobre a reta. O caminho percorrido pelo ponto anotado é uma
cicloide...
Para provar esse fato, voce pode pegar as equações parametricas da
cicloide(pegue o angulo que a circunferencia já girou como parametro) e
calcular a integral:

Int(1,{t, 0...T)) = Int(Sqrt[1+(y´)^2]/Sqrt[2g(y_0-y)], {x, x_0....x_V})

(Pois dt = ds/Velocidade)

Notação:
Int(a,{b, c...d}) = Integral de a.db desde c até d...
T = tempo que demora pra chegar no "vertice" da cicloide.
y´ = derivada de y em relação a x.
g = gravidade local.
x_0 e y_0  = coordenadas da posição em que voce soltou a bola...
x_V = coordenada x do "vertice" da cicloide.
Sqrt[a] = Raiz quadrada de a.

Fazendo as contas, voce deve chegar que T não depende de (x_0, y_0)...

Well, assim voce prova a tautocronia da cicloide, mas para "descobrir" que é
a curva tautocrona e a cicloide sem ficar resolvendo integrais para todas as
curvas que existem, eu acredito que o que se usa é o Calculo Variacional,
mas eu ainda não sei o suficiente sobre isso...(Alguém sabe como funciona?
Eu só sei usar o calculo variacional para minimizar e maximizar
funiconais...)

Ah, outra propriedade da cicloide é ela também ser a curva brachistócrona,
ou seja, aquela que liga dois pontos A e B não pertencentes a mesma vertical
e a mesma horizontal de tal forma que o tempo para ir de A até B,
percorrendo a curva é mínimo.

Até mais...

<Bruno Woltzenlogel Paleo>

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> Rui L Viana F
> ruilov@mit.edu
> ruilov@hotmail.com
> ruilovlist@hotmail.com
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Ei, como é o MIT? Que curso voce está fazendo aí?