Re: Recorrência

["Douglas C. Andrade" <douglas@xxxxxxxxxxxxx>]

Caro Marcelo;

Observemos alguns fatos de sua recorrencia:
(obs: a*b=a vezes b, a^b=a elevado a b)

(Eq. 1): f(2)=f(1)*5+1
(Eq. 2): f(3)=f(2)*5+1
(Eq. 3): f(4)=f(3)*5+1
...
(Eq. n-3): f(n-2)=f(n-3)*5+1
(Eq. n-2): f(n-1)=f(n-2)*5+1
(Eq. n-1): f(n)=f(n-1)*5+1

Dai comeco a pensar: como que eu posso cortar esses "efes" e deixar so o
f(n) em funcao de alguma coisa? Se eu multiplicar a (Eq. n-2) por 5, e
soma-la membro a membro com a (Eq. n-1) posso cortar o 5*f(n-1) do primeiro
membro da (Eq. n-2) com o 5*f(n-1) no segundo membro da (Eq. n-1).

Depois disso eu multiplico a (Eq. n-3) por 25=5^2, somo com as duas outras e
corto o termo 25*f(n-2) do primeiro membro com o 25*f(n-2) do segundo
membro. Acho que deu pra sacar a jogada ne? Eu vou multiplicar a (Eq. n-k)
por 5^(k-1), para poder cortar todos os "efes" intermediarios. Fazendo isso,
temos que:

f(n)=[1+5+5^2+5^3+...+5^(n-1)]+5^(n-1)*f(1)

Sabendo que f(1)=3 e que o somatorio entre colchetes e claramente uma PG,
podemos reescrever f(n) como

f(n)=[5^(n-1)-1]/4+3*5^(n-1)
e finalmente

f(n)=(1/4)*[13*5^(n-1)-1]

Espero nao ter cometido nenhum engano e ter sido util

Atenciosamente

Douglas


-----Mensagem original-----
De: Marcelo Souza <marcelo_souza7@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 6 de Outubro de 2000 15:07
Assunto: Recorrência


>Olá pessoal! Alguém poderia me explicar detalhadamente o exercício a
seguir?
>
>. Defina, por recorrência, uma função f:N->N estipulando que f(1)=3 e
>f(n+1)=5.f(1)+1. Dê uma forma explícita para f(n).
>
>Obrigado
>Abraços
>Marcelo
>_________________________________________________________________________
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