Re: um teorema

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Marcelo,

Se bem entendi sua Mensagem, o que lhe falta e reconhecer o
papel fundamental de um principio, qual seja, o PRINCIPIO DA
BOA ORDENACAO. Este Principio pode ser enunciado como segue
:

"EM TODO CONJUNTO DE INTEIROS POSITiVOS HA UM MENOR
ELEMENTO"

Isto significa que se A e um conjunto de inteiro positivos
entao existe um "a" pertencente a A tal que x <= a, para
qualquer x pertencente a A.

Se voce reconhecer este fato como UM PRINCIPIO acredito que
suas duvidas acabarao pois, na sua notacao, dado que a
funcao F e de N em N entao o conjunto imagem e um conjunto
de inteiros positivos sobre o qual vale aplicar o Principio
de Boa Ordenacao.

Vale ressaltar que a prova de inducao tal como Fermat
efetuava, isto e, de N para N-1,muitas vezes lanca mao de
tal principio para evidenciar que nao podemos construir um
conjunto de inteiros positivos sucessivamente decrescentes e
infinito... E parece que Fermat nao percebeu explicitamente
que estava lidando com um Principio...

Por outro lado, nada e Principio ou Teorema "em absoluto"
... ser Principio ou ser Teorema sao qualidades dependentes
do sistema de axiomas que adotamos ... Algo que e EVIDENTE E
DADO em um contexto e que portanto merece ser tratado como
principio pode ser demonstravel ( e portanto ser um teorema
) em outro contexto, com principios e regras de inferencia
diversas.

Sera que dos sistemas formais e valido falar o que se falou
( foi Poincare ) das geometrias nao-euclidianas : um sistema
formal ( Geometria nao-euclidiana ) nao e MAIS VERDADEIRO
que outro. Pode ser somente mais conveniente ... ????

Quem enunciou claramente o PRINCIPIO DE BOA ORDENACAO pela
primeira vez foi o mesmo Matematico ( nao me lembro o nome )
que provou que numa progressao aritmetica em que a razao e o
primeiro termo sao primos entre si ha infinitos numeros
primos. 

On Thu, 05 Oct 2000 17:00:07 GMT
"Marcelo Souza" <marcelo_souza7@hotmail.com> wrote:
>olá pessoal da lista.
>Há um certo teorema que ainda não consegui entender
>relacionado a teoria de 
>números...mas precisamente na parte de mínimo, indução.
>- o teorema diz:
>- Toda função monótona não-crescente f:N->N é constante a
>partir de um certo 
>ponto. (isto é, existe n_0 pertencente a N tal que
>f(n)=f(n_0), para todo 
>n>=n_0).
>Demonstração: Seja n_0 o menor elemento do conjunto
>X={f(1), 
>f(2),...,f(n),...}. Então n>n_0 =>f(n)=<f(n_0)(porque a
>função f é 
>não-crescente) o que acarreta que f(n)=f(n_0)(porque
>f(n_0) é o menor 
>elemento de X).
>
>Este é o teorema com a demontração. Em parte, consegui
>entender a 
>demonstração. Mas me perdi todo... primeiro, afirma-se que
>n_0 é o menor 
>elemento de X, acompanhando esse raciocínio é óbvio que
>n>n_0, já que n_0 é 
>o mínimo, e pela função ser não-crescente, f(n)=<f(n_0),
>mas daí o ponto: 
>f(n)=f(n_0). Dá pra se entender que é igual se
>considerarmos
>f(n_0) o menor elemento, mas no início não foi considerado
>que n_0 era o 
>menor elemento? Agora f(n_0) e o menor? Alguém poderia me
>explicar...sei que 
>é uma pergunta fácil, mas est´pa me deixando sem resposta
>e cheio de dor de 
>cabeça...
>Obrigado
>Abraços
>Marcelo
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