Re: dois problemas num s'o

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 27 Sep 2000, Luis Lopes wrote:

> Sauda,c~oes,
> 
> O problema abaixo 'e + ou - conhecido:
> 
> Desenham-se n c'irculos num plano $\pi$ de acordo com o seguinte
> procedimento: todos os c'irculos cortam-se sempre em dois pontos
> e tr^es c'irculos n~ao passam nunca pelo mesmo ponto. Mostre que
> os c'irculos dividem o plano $\pi$ em $n^2 - n + 2$ regi~oes, incluindo
> a que 'e exterior a todos os c'irculos.
> 
> Sugest~ao: ache uma equa,c~ao de recorr^encia relacionando o
> n'umero de regi~oes formado por $n+1$ c'irculos `aquele com $n$
> c'irculos.
> 
> Tempos depois, j'a tendo aprendido a resolver este problema,
> encontro num livro (n~ao me lembro mais qual) o mesmo problema,
> mas com um ponto adicional: demonstrar que podemos sempre
> desenhar $n$ c'irculos seguindo o procedimento acima.

Existem muitas formas de resolver este problema.
Eu sugiro tomar como centros os vértices de um polígono regular
inscrito em um círculo de raio 1 e como raio dos círculos um valor
comum r > 1 qualquer. As propriedades seguem facilmente.

[]s, N.
> 
> 'E claro que o livro n~ao dava a demonstra,c~ao pois do contr'ario
> teria tido o cuidado de guard'a-la.
> 
> Algu'em teria ou saberia a demonstra,c~ao?
> 
> [ ]'s
> Lu'is
> 
>