Outra Soma

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

No Nivel Medio nos estudamos fundamentalmente dois tipos de
series : as aritmeticas e as  geometricas. As primeiras
podem ser ampliadas de forma consistente com o 
conceito de ordem, nao obstante nao ser comum os autores
abordarem esta possibilidade de ampliacao. 

Isto e evidentemente uma carencia e implica, entre outras
coisas, que muitas questoes que poderiam ser tratadas de
forma habitual e sistematica exijam em sua solucao um
raciocinio particular e insolito. 

Um exemplo disso sao as series para as quais o termo geral
An e um polinomio racional inteiro de grau superior a um. 

Se este estado de coisas e deploravel, muito pior e o estado
em que se encontrar as "sequencias geometricas"... Conforme
sabemos, uma sequencia A1, A2, A3, ... e uma Progressao
Geometrica se Ai+1/Ai e constante, vale dizer, a razao
ordenada entre dois termos consecutivos e o invariante que a
caracteriza.

Podemos definir esta mesma serie de uma outra forma, qual
seja: uma sequencia A1, A2, A3, ... e uma progressao
geometrica se existirem "K" e "q" tais que :

An = k*(q^(F(n)), onde F(n) e uma polinomio do 1 grau em N.

Como F(n) e um polinomio do 1 grau, a sequencia F(i), i
variando nos naturais, e uma progressao aritmetica. A
definicao acima pode portanto ser parafraseada como segue :

An = K*(q^(F(n)), onde F(n) e o termo geral de uma PA de 1
ordem.

Tudo isso induz a uma ampliacao do conceito de progressao
geometrica, qual seja :

Uma Progressao Geometrica de ordem P e uma sequencia A1, A2,
A3, ... tal que :

An= K*(q^F(n)), onde F(n) e o termo geral de uma PA de
oredem P.

Como nos sabemos que uma progressao aritmetica de ordem P
tem termo geral :

[N,0]*A1 + [N,1]*(A2-A1) + [N,2]*(A3 - 2*A2 + A1) + ... +
[N,P-1]*( coeficientes do binomio (x-1)^(P-1)aplicado aos P
primeiros termos )  

OBs = [N,P] = Numero binomial de numerador N e denominador P

Parece portanto ser interessante, para comecar, investigar
as progressoes geometricas de 2 ordem (PG2). Um exemplo:

Seja A, 0 < A < 1 e Bn = A^(n^2 - n). Se definirmos :

B = B1 + B2 + B3 + ... + Bn

Quanto vale LIM Bn, quando N tende ao infinito ?

Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1802,13092000               
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