RES: dúvida

["Marcio" <mcohen@xxxxxxxxxx>]

E ai Alexandre! Quanto tempo!
Essa eh a demonstracao mais legal que eu ja vi das desigualdades entre essas
3 medias..

Primeiro vamos mostrar que MA >= MG:
Considere n números positivos. Chame-os de x1, x2, ..., xn de modo que
x1=<x2=<x3=<...=<xn. Seja S0=soma dos n numeros.
Eh claro que se todos os xi forem iguais, vale a igualdade. Suponha entao
que eles nao sejam todos iguais. Seja G a media geometrica deles.
Agora, substitua o menor dos numeros, no caso x1, por x1'=(x1xn)/G, e o
maior deles, no caso xn, por xn'=G.
Note que agora temos n numeros cuja media geometrica eh igual a anterior
(pois o produto dos dois novos eh x1xn igual ao dos dois que foram
retirados).

Agora, o passo crucial:
	Como G é a media geometrica dos n numeros, temos que x1 < G < xn (soh
valeria uma das igualdades se todos os n numeros forem iguais, pois
x1=<x2=<x3=<...=<xn). Por exemplo, G^n = x1x2...xn => G^n > x1x1...x1 = x1^n
=> G>x1!)
Portanto, temos (G-x1) >= 0 e (G-xn)=<0.
Ou seja, (G-x1)(G-xn) =< 0 => G^2 - (x1+xn)G + x1xn =< 0 => (x1xn)/G + G =<
x1+xn.

Concluimos que a media aritmetica dos novos n numeros nao aumenta (ja que
sua soma nao aumenta).

Agora, repare que, quando fazemos essa operação, passamos a ter no maximo
n-1 numeros diferentes de G. Seja S1 a soma desses novos n numeros. Entao,
S1 =< S0

Repetindo essa operação com os novos n numeros, passamos a ter no maximo n-2
diferentes de G (pois o maior nunca vai ser o proprio G, exceto quando forem
todos iguais a G), sendo que a nova soma nao aumenta, ou seja, S2 =< S1.

Podemos repetir esse processo ate que todos os numeros tornem-se iguais a G
(serao necessarias no maximo n interaçoes, pois ai ja teriamos n-n = 0
numeros diferentes de G).
Eh claro que nesse caso a soma dos numeros vale nG. Portanto,
nG = Sn =< Sn-1 =< ... =< S2 =< S1 =< S0 = x1+x2+...+xn  donde G =<
(x1+x2+...+xn)/n


De posse da desigualdade MA => MG, bas aplica-la aos numeros 1/x1, 1/x2,
..., 1/xn para concluir que vale MH =< MG.

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em nome de
Alexandre F. Terezan
Enviada em: Sexta-feira, 28 de Julho de 2000 21:13
Para: OBM
Assunto: dúvida


Qual a demonstração das desigualdades das médias aritmética, geométrica e
harmônica?