Re: Ajuda

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Filho wrote:
> 
> Prove esta  desigualdade:
> a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1
> para todo
> os inteiros positivos a, b e c.
>  
> a^2: significa a elevado a 2
> / : significa dividido

Dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador ,
chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >=1 com xyz=8.

Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior
ou igual à geométrica, que vale 2.
Logo, x+y+z é maior ou igual a 6.

x, y E z são raízes de uma equação do terceiro grau, t^3-A.t^2+B.t-8=0 ,
na qual A=x+y+z>=6 e B=xy+yz+xz>0.

Pondo w=1+t, 1+x,1+y e 1+z serão raízes de
w^3-(A+3)w^2+(3+2A+B)-(A+B+9)=0

1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)= (3+2A+B)/(A+B+9)= 1+ (A-6)/(A+B+9) que é maior
ou igual a 1 pois A>=6.
O.K.
Desculpem a besteira anterior.
Morgado