Re: ajuda

[Augusto Morgado <morgado@xxxxxxxxxxxxxxx>]

> Filho wrote:
> 
> Prove esta  desigualdade:
> a^2 / ( a^2 + 2bc ) + b^2 / ( b^2 + 2ac ) + c^2 / ( c^2 + 2ab )  > = 1
> para todo
> os inteiros positivos a, b e c.
>  
> a^2: significa a elevado a 2
> / : significa dividido

dividindo o numerador e o denominador de cada fração pelo numerador ,
chega-se a 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) >=1 com xyz=8.

Ora, pela desigualdade das médias, a média aritmética de x, y, z é maior
ou igual à geométrica, que vale 2.
Logo, x+y+z é maior ou igual a 6 e (1+x) +(1+y)+(1+z)é maior ou igual a
9 e a média aritmética de 1+x, 1+y, 1+z é maior ou igual a 3.
Vamos chamar 1+x, 1+y, 1+z de p, q e r.
A(p,q,r) >=3
A média harmônica de p, q, r é menor ou igual à aritmética; logo,
H(p,q,r) <=3

3/(1/p +1/q +1/r)<=3

1/p +1/q +1/r >=1

Morgado