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Essa é a primeira vez q escrevo para a lista, portanto,
saudações a todos.
Seja XYZ a representação de 100x + 10y + z.
E seja <= a notação para menor ou igual a
Assim, se CBA é múltiplo de ABC, então existe um inteiro
positivo k tal que:
CBA = ABC * k , para 0 < k < 10 ,
ou CBA - ABC = (k-1) * ABC
Então 100c + 10b + a - 100a - 10b - a = (k-1) *
ABC
Ou, 99 (c - a) = (k-1) * ABC
Assim, temos 2 casos a estudar:
i) c = a --> k = 1
ii) c > a --> k > 1
(obviamente se c fosse menor do q a, então ABC > CBA,
impossível.
Caso i:
Neste caso, para todo c = a, k = 1 satisfaz
o enunciado, ou seja, CBA = ABC * 1 = ABC. Como 0 < c <= 9 e 0
<= b <= 9, são 90 as situações possíveis.
Caso ii:
Neste caso, (k-1) * ABC = 3^2 * 11 * (c -
a). Note que (k - 1) < 9, pois k < 10. Assim, ABC é obrigatoriamente
múltiplo de 33 (um fator 3 e um fator 11).
Note também que a < 5 , uma vez que do
contrário CBA = k * ABC possuiria mais de 3 algarismos, para k > 1,
impossível.
Além disso, se CBA for ímpar (a ímpar), ABC
é necessariamente ímpar (c ímpar). Por outro lado, se ABC é par (c par), então
CBA também é par (a par).
Dos critérios de divisibilidade por 3 e por
11, tira-se que:
1) a + b + c = 3r (r inteiro positivo
menor do que 8)
2) - a + b - c = 11s (s = -1 ou
s = 0 --> esta restrição se deve ao fato de serem a,b,c inteiros tais que 0
< a < 5 , 0 <= b < 10 e 0 < c < 10)
Somando-se as equações
1 e 2, obtemos: 2b = 3r + 11s
Para s = -1, vem: 2b = 3r -
11 e a + c = b + 11.
Lembrando que c > a, apenas um terno
(a,b,c) seria uma possível solução, o terno (4,2,9). Como 924 não
é múltiplo de 429, essa solução é falsa.
Para s = 0, vem: 2b = 3r
e a + c = 3r/2.
4 ternos (a,b,c) seriam possíveis soluções: (2,6,4) ,
(1,6,5) , (4,9,5) e (2,9,7). No entanto, nenhuma dessas possíveis soluções
é verdadeira, ou seja, CBA não é múltiplo de ABC para nenhum desses
ternos.
Ora, então todas as soluções se resumem ao caso i, totalizando
90 soluções , para todo 0 < c = a < 10 (9 casos) e 0
<= b < 10 (10 casos) --> 9 * 10 = 90 soluções.
Abraços, Alexandre Terezan
----- Original Message ------
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