Re: Combinatoria

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Combinatoria
>Date: Thu, 20 Jul 2000 07:55:27 -0300 (BRT)
>
>
>
>On Thu, 20 Jul 2000, Alexandre Tessarollo wrote:
>
> > 	Essa é uma questão de permutação circular. Fiz de duas maneiras.
> >
> > Primeira maneira:
> >
> > 	Vamos primeiro permutar todas as bolas como se estivessem uma ao lado
> > da outra numa prateleira. Para quem já estudou permutação c/repetição, é
> > fácil ver que existem N=54!/(6!8!16!24!) arrumações possíveis. Agora
> > "fechemos" o círculo, isto é, juntemos uma ponta da prateleira à
> > outra(como se a prateleira fosse maleável). Ao fazermos isto, vemos q a
> > arrumação q põe todas as bolas juntas de acordo com a cor, isto é,
> > BBBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...Am é equivalente à
> > BBBBBAzAz..AzVV...VAmAm...AmB que é equivalente a várias outras.
> > Precisamente 54 arrumações equivalentes. Basta ver que o "ponto de
> > corte" da arrumação acima poderia ter sido em qualquer um dos 53 espaços
> > entre as bolas bem como aonde admitimos ter sido, no fim da nossa
> > prateleira.)
> > 	Logo, o verdadeiro número de arrumações é N/54.
> >
> > Segunda maneira:
> >
> > 	Escolha uma bola qualquer, digamos branca. Coloque-a em qualquer
> > posição, pois todas são equivalentes inicialemente. Agora, para colocar
> > a segunda bola branca, temos o lugar simétrico ao da primeira e mais
> > 52/2=26 lugares (na verdade seriam 52 lugares, só que são simétricos
> > dois a dois. Logo...). Ou seja, já temos 27 possibilidades. Já podemos
> > perceber também que dessa maneira teremos vários casos e não chegaremos
> > ao resultado tão cedo.
> > 	Assim, na hora de colocar as bolas seguintes, nós "abrimos" o círculo.
> > Isto é, assumimos que a 1a bola colocada representa a 1a posição.
> > Resolvendo essa permutação normal, temos M=53!/(5!8!16!24!). Vale
> > lembrar que a nossa primeira bola branca NÃO é diferente das outras, ou
> > seja, existem 6 bolas brancas q podem ser esta primeira. Portanto, o
> > verdadeiro número de arrumações é M/6.
> >
> > 	E, como podemos ver, M/6=N/54. Ou seja, ambos os raciocínios chegam a
> > mesma resposta e ambos estão, a meu ver, corretos.
> >
> > Aguardo apreciação de todos.
> > Um abraço,
> > Alexandre Tessarollo
> >
> > Ecass Dodebel wrote:
> > >
> > > "De quantas maneiras distintas podemos dispor ao longo de um
> > > circulo, suposto fixo, 6 bolas brancas, 8 bolas azuis, 16
> > > bolas verdes, 24 bolas amarelas?"
> > >
> > > O círculo fica fixo em nossa frente, mas as bolas ficam livres para 
>serem
> > > rotacionadas como em uma catraca de bicicleta (acho que vocês 
>entendem).
> > >
> > > Obrigado!
> > >
> > > Eduardo Casagrande Stabel.
> > > 
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> >
>
>Infelizmente a resposta e ambos os raciocínios apresentados estão 
>incorretos,
>apesar de serem boas aproximações. A falha consiste no seguinte:
>existem algumas arrumações contadas na solução 1 que vêm em classes
>não de 54 e sim de 27 arrumaçòes equivalentes. Um exemplo disso é
>
>BBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYYBBBAAAAVVVVVVVVYYYYYYYYYYYY
>
>(onde usei B para branco, A para azul, V para verde e Y para amarelo)
>pois girando 27 espaços temos a mesma arrumação.
>Antes de rodarmos a roda, temos exatamente
>
>27!/(3!4!8!12!)
>
>arrumações deste tipo e portanto a resposta correta é
>
>(54!/(6!8!16!24!) - 27!/(3!4!8!12!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/27 =
>= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 =
>= 68060828021687548916368500 + 72505182750 =
>= 68060828021687621421551250
>
>[]s, N.
>
>
>

Um detalhe bem bobo, no Maple V, aqui em casa, dá
= (54!/(6!8!16!24!))/54 + (27!/(3!4!8!12!))/54 =
= 11343471336947924819394750 + 72505182750 =
= 11343471336947997324577500


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